[高三数学]4篇高考数学复习资料.doc

第四篇三角函数、解三角形第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数【2014年高考会这样考】1考查用三角函数的定义求三角函数值2考查三角函数值符号的确定考点梳理1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：弧度与角度的换算：3602弧度；180弧度；弧长公式：l|r；扇形面积公式：S扇形lr|r2.3任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin y，cos x，tan (x0)(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线，余弦线和正切线【助学微博】一条规律三角函数值在各象限的符号为：一全正、二正弦、三正切、四余弦两点提醒(1)在判定角的终边所在的象限时，要注意对k进行分类讨论(2)在表示角的集合时，切忌同时采用角度制与弧度制两种度量单位考点自测1若k18045(kZ)，则在()A第一或第三象限 B第一或第二象限C第二或第四象限 D第三或第四象限解析当k2m1(mZ)时，2m180225m360225，故为第三象限角；当k2m(mZ)时，m36045，故为第一象限角答案A2已知角的终边过点P(1,2)，则sin ()A. B. C D解析由三角函数定义得sin .答案B3(2013淄博模拟)点A(sin 2 013，cos 2 013)在直角坐标平面上位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析由2 0133605(18033)可知，2 013角的终边在第三象限，所以sin 2 0130，cos 2 0130，即点A位于第三象限，故选C.答案C4(2013潍坊质检)已知角的终边经过点P(m，3)，且cos ，则m等于()A B. C4 D4解析由题意可知，cos ，m0时，r5t，sin ，cos ，tan ；当t0时，r5t，sin ，cos ，tan .综上可知，sin ，cos ，tan 或sin ，cos ，tan . 在利用三角函数的定义求角的三角函数值时，若角的终边上点的坐标是以参数的形式给出的，则要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论任意角的三角函数值仅与角的终边位置有关，而与角终边上点P的位置无关【训练1】 已知角的终边经过点P(，m)(m0)且sin m，试判断角所在的象限，并求cos 和tan 的值解由题意得，r，m.m0，m.故角是第二或第三象限角当m时，r2，点P的坐标为(，)，角是第二象限角，cos ，tan .当m时，r2，点P的坐标为(，)，角是第三象限角cos ，tan.综上可知，cos ，tan 或cos ，tan .考向二三角函数的符号和角的位置的判断【例2】(1)已知cos sin 0，那么角是()A第一或第二象限角 B第二或第三象限角C第二或第四象限角 D第一或第四象限角(2)已知点P(sin cos ，2cos )位于第三象限，则角是第_象限审题视点 (1)由cos sin 0可得或从而确定所在的象限(2)由点P所在的象限得到sin 与cos 的符号，从而确定所在的象限解析(1)因为cos sin 0，所以有：此时，由sin 0判断在第一或第四象限或x轴正半轴，故在第四象限此时，由sin 0判断在第一或第二象限或y轴正半轴，由cos 0判断在第二或第三象限或x轴负半轴，故在第二象限所以角是第二或第四象限角(2)因为点P(sin cos ，2cos )位于第三象限，所以sin cos 0,2cos 0，即所以为第二象限角答案(1)C(2)二 已知一角的三角函数值(sin ，cos ，tan )中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置注意终边在坐标轴上的特殊情况【训练2】 已知sin 20，且|cos |cos ，问点P(tan ，cos )在第几象限？解法一由sin 20，得2k22k2(kZ)，即kk(kZ)当k为奇数时，的终边在第四象限；当k为偶数时，的终边在第二象限又因cos 0，所以的终边在左半坐标平面(包括y轴)，所以的终边在第二象限所以tan 0，cos 0，点P在第三象限法二由|cos |cos ，知cos 0，又sin 20，即2sin cos 0)，半径为R.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？审题视点 (1)利用弧长公式求解；(2)把扇形面积用表示出来，或用R表示出来，然后求函数的最值解(1)l|R10(cm)(2)法一扇形周长202Rl2RR，R，SR2220025(cm2)当且仅当24，即2 rad时，扇形面积有最大值25 cm2.法二由已知：l2R20，S扇形lR(202R)RR210R(R5)225.故当R5 cm，即2(rad)时，这个扇形的面积最大 (1)引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制下可以应用弧长公式：lr|，扇形面积公式：Slrr2|，求弧长和扇形的面积(2)应用上述公式时，要先把角统一用弧度制表示利用弧度制比角度制解题更为简捷、方便【训练3】 已知扇形的圆心角是120，弦长AB12 cm，求弧长l.解设扇形的半径为R cm，如图由sin 60，得R4 cm.l|R4(cm)热点突破9三角函数的定义与其他知识的结合问题【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，单独考查三角函数定义的问题，难度较低；若结合三角函数的基础知识及三角恒等变形，涉及的知识点较多，难度稍大题型均以选择题、填空题出现【真题探究】 (2012山东)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_教你审题 通过P点、圆心、及x轴构造直角三角形解法 如图，连AP，分别过P，A作PC，AB垂直x轴于C，B点，过A作ADPC于D点由题意知的长为2.圆半径为1，BAP2，故DAP2.DPAPsincos 2，PC1cos 2，DAAPcossin 2，OC2sin 2.故(2sin 2,1cos 2)答案 (2sin 2,1cos 2)反思 熟记三角函数的定义，掌握点的坐标及该点到原点的距离三个数间的比值所对应的三角函数【试一试】 (2012北京东城模拟)已知(1,0)，点P从(1,0)出发，沿单位圆x2y21逆时针方向运动弧长到达Q点，则()A. B.C. D.解析设POQ，由三角函数定义可知，Q点的坐标(x，y)满足xcos ，ysin ，x，y，.答案AA级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是 ()Asin Bcos Ctan Dcos 2解析因为是第二象限角，所以为第一或第三象限角，所以tan 0，故选C.答案C2(2011新课标全国)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2 ()A B C. D.解析由题意知，tan 2，即sin 2cos ，将其代入sin2cos21中可得cos2，故cos 22cos21.答案B3若一扇形的圆心角为72，半径为20 cm，则扇形的面积为()A40 cm2 B80 cm2 C40cm2 D80cm2解析72，S扇形R220280(cm2)答案B4给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos 0，则是第二或第三象限的角其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4解析由于第一象限角370不小于第二象限角100，故错；当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于sin sin ，但与的终边不相同，故错；当，cos 10时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故错综上可知只有正确答案A二、填空题(每小题5分，共10分)5. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos _.解析因为A点纵坐标yA，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA，由三角函数的定义可得cos .答案6设角是第三象限角，且sin ，则角是第_象限角解析由是第三象限角，知2k2k(kZ)，kk(kZ)，知是第二或第四象限角，再由sin 知sin 0，所以只能是第四象限角答案四三、解答题(共25分)7(12分)(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式360720的元素写出来：60；21.(2)试写出终边在直线yx上的角的集合S，并把S中适合不等式180180的元素写出来解(1)S|60k360，kZ，其中适合不等式360720的元素为300，60，420；S|21k360，kZ，其中适合不等式360720的元素为21，339，699.(2)终边在yx上的角的集合是S|k360120，kZ|k360300，kZ|k180120，kZ，其中适合不等式180180的元素为60，120.8(13分)已知角的终边上有一点P(x，1)(x0)，且tan x，求sin ，cos .解的终边过点(x，1)，tan ，又tan x，x21，x1.当x1时，sin ，cos ；当x1时，sin ，cos .B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1(2011江西改编)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y ()A8 B8 C4 D4解析根据题意sin 0及P(4，y)是角终边上一点，可知为第四象限角再由三角函数的定义得，又y0，y8(合题意)，y8(舍去)综上知y8.答案A2(2012南阳模拟)已知锐角的终边上一点P(sin 40，1cos 40)，则锐角 ()A80 B70 C20 D10解析据三角函数定义知，tan tan 70.故锐角70.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)3(2013鞍山模拟)设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_解析由题意得S(82r)r4，整理得r24r40，解得r2.又l4，故|2(rad)答案24函数y的定义域为_解析2cos x10，cos x.由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)x(kZ)答案(kZ)三、解答题(共25分)5(12分)一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则解得圆心角2.如图，过O作OHAB于H，则AOH1 rad.AH1sin 1sin 1 (cm)，AB2sin 1 (cm)6(13分)如图所示，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为，AOB为正三角形(1)求sinCOA；(2)求cosCOB.解(1)根据三角函数定义可知sinCOA.(2)AOB为正三角形，AOB60，又sinCOA，cosCOA，cosCOBcos(COA60)cosCOAcos 60sinCOAsin 60.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式【2014年高考会这样考】考查利用同角三角函数的基本关系式与诱导公式化简三角函数式及求三角函数值考点梳理1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan .2三角函数的诱导公式公式一：sin(2k)sin ，cos(2k)cos_，tan(2k)tan ，其中kZ.公式二：sin()sin_，cos()cos_，tan()tan .公式三：sin()sin_，cos()cos_，tan()tan .公式四：sin()sin ，cos()cos_，tan()tan .公式五：sincos_，cossin .公式六：sincos_，cossin_.【助学微博】一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限二种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan 化成正、余弦(2)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)tan.三点提醒(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐，特别注意函数名称和符号的确定(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化考点自测1sin cos tan的值是()A B. C D.解析原式sincostan().答案A2(2012全国)已知为第二象限角，sin cos ，则cos 2()A B C. D.解析将sin cos 两边平方，可得1sin 2，sin 2，所以(sin cos )21sin 2，因为是第二象限角，所以sin 0，cos 0，所以sin cos ，所以cos 2(sin cos )(cos sin )，选A.答案A3若tan 2，则的值为()A0 B. C1 D.解析.答案B4(2012山东)若，sin 2，则sin ()A. B. C. D.解析因为，所以2，所以cos 20，所以cos 2.又cos 212sin2，所以sin2，所以sin .答案D5(人教A版教材改编题)已知sin，则sin的值为_解析sinsinsin.答案考向一同角三角函数的基本关系的应用【例1】已知是三角形的内角，且sin cos .(1)求tan 的值；(2)把用tan 表示出来，并求其值审题视点 (1)由sin cos 及sin2cos21，可求sin ，cos 的值；(2)1sin2cos2，分子、分母同除以cos2即可解(1)法一联立方程由得cos sin ，将其代入，整理得25sin25sin 120.是三角形内角，tan .法二sin cos ，(sin cos )22，即12sin cos ，2sin cos ，(sin cos )212sin cos 1.sin cos 0且0，sin 0，cos 0，sin cos 0，sin cos .由得tan .(2)，tan ，. (1)对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求转化的公式为(sin cos )212sin cos ；(2)关于sin ，cos 的齐次式，往往化为关于tan 的式子【训练1】 已知x0，sin xcos x.(1)求sin xcos x的值；(2)求的值解(1)sin xcos x，两边平方得，1sin 2x，sin 2x.(sin xcos x)21sin 2x，又x0，sin x0，sin xcos x.(2)法一.法二由(1)，得tan x.法三由(1)，得，得，tan x，其余同法二考向二利用诱导公式求值【例2】(1)已知sin，则cos_；(2)已知tan，则tan_.审题视点 已知条件或待求式比较复杂，需对比诱导公式寻找已知角和待求角之间的关系解析(1)，coscossin.(2)，tantantan.答案(1)(2) 巧用相关角的关系会简化解题过程常见的互余关系有与；与；与等，常见的互补关系有与；与等【训练2】 (1)已知sin，则cos_；(2)若tan()，则tan(3)_.解析(1)coscoscoscos，而sinsincos，所以cos.(2)因为tan()tan ，所以tan(3)tan()tan .答案(1)(2)考向三利用诱导公式化简三角函数式【例3】设f()(12sin 0)，则f_.审题视点 利用诱导公式将函数化简，然后问题即可转化为利用诱导公式求值解析f()，f.答案 解答此类问题，首先要有化简的意识，将原式先化简为一个简单的形式，再代入具体的值利用诱导公式化简，特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名称搞错【训练3】 (1)化简：_.(2)已知f(x)，则f_.解析(1)原式1.(2)f(x)cos xtan xsin x，fsinsin sinsin .答案(1)1(2)方法优化4灵活运用同角三角函数的基本关系式求值【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，主要考查用同角三角函数关系及诱导公式进行化简、求值，多数以选择题和填空题形式命题，难度不大，属容易题【真题探究】 (2012辽宁)已知sin cos ，(0，)，则tan ()A1 B C. D1教你审题 思路1 结合平方关系求sin 、cos .思路2 平方求sin 2.思路3 化成形如yAsin(x)的形式一般解法 由得：2cos22cos 10，即20，cos .又(0，)，tan tan 1.优美解法 法一因为sin cos ，所以sin，所以sin1.因为(0，)，所以，所以tan 1.法二因为sin cos ，所以(sin cos )22，所以sin 21.因为(0，)，2(0,2)，所以2，所以，所以tan 1.答案 A反思 (1)熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；(2)注意公式的变形应用，如sin21cos2，cos21sin2，1sin2cos2及sin tan cos 等这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在【试一试】 (2012江西)若tan 4，则sin 2的值为()A. B. C. D.解析tan 4，4tan 1tan2，sin 22sin cos .答案DA级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2013济南质检)，sin ，则cos()的值为 ()A B. C. D解析因为，sin ，所以cos ，即cos()，故选B.答案B2已知tan 2，则sin2sin cos 2cos2 ()A B. C D.解析由于tan 2，则sin2sin cos 2cos2.答案D3(2013广州质检)若，则tan 2 ()A B. C D.解析由，得，所以tan 3，所以tan 2.答案B4(2011福建)若tan 3，则的值等于 ()A2 B3 C4 D6解析2tan ，又tan 3，故6.答案D二、填空题(每小题5分，共10分)5(2012揭阳模拟)已知sin cos ，且，则cos sin 的值是_解析12sin cos (sin cos )2，又，sin cos .cos sin .答案6(2013郑州模拟)若sin()log8，且，则cos(2)的值是_解析sin()log8，sin log2322.cos(2)cos .答案三、解答题(共25分)7(12分)已知f().(1)化简f()；(2)若是第三象限角，且cos，求f()的值解(1)f()cos .(2)cos，是第三象限角sin .cos ，f()cos .8(13分)已知sin(3)2sin，求下列各式的值：(1)；(2)sin2sin 2.解法一由sin(3)2sin，得tan 2.(1)原式.(2)原式sin22sin cos .法二由已知得sin 2cos .(1)原式.(2)原式.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1若sin 是5x27x60的根，则 ()A. B. C. D.解析由5x27x60得x或x2.sin .原式.答案B2(2012上海)若Snsin sin sin (nN*)，则在S1，S2，S100中，正数的个数是 ()A16 B72 C86 D100解析由sin sin ，sin sin ，sin sin ，sin sin 0，所以S13S140.同理S27S28S41S42S55S56S69S70S83S84S97S980，共14个，所以在S1，S2，S100中，其余各项均大于0，个数是1001486(个)故选C.答案C二、填空题(每小题5分，共10分)3(2011重庆)已知sin cos ，且，则的值为_解析依题意得sin cos ，又(sin cos )2(sin cos )22，即(sin cos )222，故(sin cos )2；又，因此有sin cos ，所以(sin cos ).答案4(2013青岛模拟)f(x)asin(x)bcos(x)4(a，b，均为非零实数)，若f(2 012)6，则f(2 013)_.解析f(2 012)asin(2 012)bcos(2 012)4asin bcos 46，asin bcos 2，f(2 013)asin(2 013)bcos(2 013)4asin bcos 42.答案2三、解答题(共25分)5(12分)是否存在，(0，)，使等式sin(3)cos，cos()cos()同时成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由解假设存在角，满足条件，则由已知条件可得由22，得sin23cos22.sin2，sin .，.当时，由式知cos ，又(0，)，此时式成立；当时，由式知cos ，又(0，)，此时式不成立，故舍去存在，满足条件6(13分)(2011天津)已知函数f(x)tan.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设，若f2cos 2，求的大小解(1)由2xk，kZ，得x，kZ.所以f(x)的定义域为，f(x)的最小正周期为.(2)由f2cos 2，得tan2cos 2，2(cos2sin2)，整理得2(cos sin )(cos sin )因为，所以sin cos 0.因此(cos sin )2，即sin 2.由，得2.所以2，即.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.第3讲三角函数的图象与性质【2014年高考会这样考】1考查三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性2考查三角函数的图象在研究三角函数性质中的应用考点梳理正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ).函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性2k，2k为增；2k，2k为减2k，2k为减；2k，2k为增k，k为增对称中心(k，0)对称轴xkxk无【助学微博】一点提醒求函数yAsin(x)的单调区间时，应注意的符号，只有当0时，才能把x看作一个整体，代入ysin t的相应单调区间求解，否则将出现错误两种方法求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为yAsin(x)的形式，通过分析x的范围，结合图象写出函数的值域；(2)换元法：把sin x(cos x)看作一个整体，化为二次函数来解决考点自测1(2011新课标全国)设函数f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期为，且f(x)f(x)，则()Af(x)在单调递减Bf(x)在单调递减Cf(x)在单调递增Df(x)在单调递增解析先将f(x)化为单一函数形式：f(x)sin，f(x)的最小正周期为，2.f(x)sin.由f(x)f(x)知f(x)是偶函数，因此k(kZ)又|，f(x)cos 2x.由02x，得0x0)的最小正周期为，则该函数的图象()A关于直线x对称 B关于点对称C关于直线x对称 D关于点对称解析由题意知T，则2，所以f(x)sin，又fsinsin 0.答案B4(2013郑州模拟)已知是正实数，且函数f(x)2sin x在上是增函数，那么()A0 B02C00，得x.又ysin x是上的单调增函数，则解得0.答案A5(2012全国)当函数ysin xcos x(0x2)取得最大值时，x_.解析ysin xcos x22sin的最大值为2，又0x2，故当x，即x时，y取得最大值答案考向一与三角函数有关的定义域和值域问题【例1】(1)函数y的定义域为_(2)函数f(x)2cos x(sin xcos x)1在x上的最大值为_，最小值为_审题视点 (1)求使sin xcos x的x的集合即可；(2)先化成形如f(x)Asin(x)的形式，再由x的范围求解解析(1)sin xcos xsin0，将x视为一个整体，由正弦函数ysin x的图象和性质可知2kx2k，kZ，解得2kx2k，kZ.所以定义域为.(2)f(x)2cos xsin x2cos2x1sin 2xcos 2xsin，x，2x，sin，故f(x)max，f(x)min1.答案(1)(2)1 (1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角不等式，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域(最值)首先把三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令tsin x，或tsin xcos x)化为关于t的二次函数求值域(最值)【训练1】 (1)函数y的定义域为_；(2)当x时，函数y3sin x2cos