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文档简介

范例2.4 摩擦力与速率成正比的圆周运动 一质量为m的小球以速率v0从固定于光滑水平桌面上、半径 为R的圆周轨道内侧某点开始沿轨道内侧做圆周运动，小球 运动时受轨道摩擦力大小与其速率v成正比，比例系数为k 。速度和路程随时间变化的曲线有什么规律？法向加速度 大小和切向加速度大小随时间变化的曲线有什么规律？法 向加速度大小与切向加速度大小在什么时刻相等？ 解析如图所示，小球受到重力mg，桌 面的支持力N1，轨道内侧的压力N2， 轨道内侧摩擦力f四个力的作用。 N1与mg相互平衡，小球所受的合 外力为N2 + f，N2沿法线方向，f沿 切线方向且与速度方向相反。 mg N1 N2f v 范例2.4 摩擦力与速率成正比的圆周运动 小球沿切线的运动方程为-f = F = mdv/dt， 由题意f = kv，得微分方程-kv = mdv/dt， mg N1 N2f v 分离变量得 积分得 变形得速率 由于 积分得 小球在t时间内小球走过的路程为 当t时，smv0/k， 这是小球运动 的全部路程。 范例2.4 摩擦力与速率成正比的圆周运动 mg N1 N2f v 速率 小球的法向加速度为 当t = 0时，法向加速度为v02/R， 这是初始向心加速度，用a0表示 。 切向加速度的大小为 当t = 0时，切向加速度的大小为kv0/m ，初始摩擦力的大小为为kv0。 令an = a，可得 解得时 刻为 这里要求mv0 kR，否则法向加速 度的大小就总是小于切向加速度 。 小球的初速度越大，两个加 速度大小相等的时刻就越大 。 可得 可见：切向和法向加速度大 小相等的值与初速度无关。 速率随时间单调减少，最后 趋于零；路程随时间单调增 加，最后趋于总路程。 初始摩擦力与初始向心力之比越 大，切向加速度大小的初始值就 越大，切向加速度都随时间减小 。 法向加速度也随时间减小，法向向加 速度的初值比较大而减小得比较快。 法向加速度与切向加速度交点的横坐标，就是 法向加速度和切向加速度的大小相等的时刻。 例如，当kR/mv0 = 0.2时，法向加速 度和切向加速度的大小相等的时刻 是1.61，加速度的值是0.04a0。 初始摩擦力与初始向心力的比
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