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文档简介
必修四必修四 第一章第一章 三角函数三角函数 月盈则亏是周期现象 钱塘江一线潮 由于月球和太阳的引潮力作用,使海洋水面发生的周期性涨落的潮汐现象。 1.1.1 任意角的概念 什么是角?范围是多大? 定义:有公共端点的两射线组成的几何 图形叫角. 顶 点 边 边 角的范围:0360 复习回顾 初中定义 跳水运动员向内、向外转体两周半,这是多大角度? 体操中有转体两周或 转体两周半,如何度 量这些角度呢? 经过1小时,秒针、分针各转了多少度? 1角的概念的推广 “旋转”形成角 如图:一条射线由原来的 位置OA,绕着它的端点O按逆 时针方向旋转到另一位置OB, 就形成角 角的构成要素 始边 终边 顶点 A B O 方向 旋转开始时的射线OA叫做角的 始边,旋转终止的射线OB叫做角 的终边,射线的端点O叫做角 的顶点 “正角”与“负角”、“零角” 我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角 叫做正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫 做负角,如图,以OA为始边的角=210,= 150,=660, 特别地,当一条射线没有作任何旋转时 ,我们也认为这时形成了一个角,并把这个 角叫做零角即零度角(0)此时零角的始边 与终边重合。 角的记法:角或可以简记成,或简 记为: . 如=-1500 , =00, =6600 等等 角的概念扩展的意义: 用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了 角有正负之分; 如:=210, = 150, =660. 角可以任意大; 实例:体操动作:旋转2周(3602=720 ) 3周(3603=1080) 还有零角, 一条射线,没有旋转. 角的概念推广以后,它包括任意大小的正 角、负角和零角 要注意,正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量,它的正负规定源于实际的需要,就 好象与正数、负数的规定一样,零角无正负, 就好象数零无正负一样 用旋转来描述角,需要注意三个要素: 旋转中心、旋转方向和旋转量 (2)旋转方向:旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种,这是一对意义相反的量,根 据以往的经验,我们可以把一对意义相反的 量用正负数来表示,那么许多问题就可以解 决了; (1)旋转中心:作为角的顶点. (3)旋转量: 当旋转超过一周时,旋转量即超过360, 角度的绝对值可大于360 .于是就会出现720 , 540等角度. 2象限角 为了研究方便,我们往往在平面直角坐标 系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点,角的始边重合于 x轴的非负半轴,这样一来,角的终边落在第几 象限,我们就说这个角是第几象限的角 x y o 要点 1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴 终边落在第几象限就是第几象限角 始边 终边 终边 终边 终边 坐标轴上的角:(轴线角) 如果角的终边落在了坐标轴上,就认为 这个角不属于任何象限。 例如:角的终边落在X轴或Y轴上。 例如:30、390、330是第一象限角, 300、 60是第四象限角, 585、1300是第三象限角, 135 、2000是第二象限角等 练习: 1、锐角是第几象限的角? 2、第一象限的角是否都是锐角?举例 说明 3、小于90的角都是锐角吗? 答:锐角是第一象限的角。 答:第一象限的角并不都是锐角。 答:小于90的角并不都是锐角,它 也有可能是零角或负角。 练习3:那么下列各角:-50,405, 210, -200,450分别是第几象限的角? 50 x y o x y o 210 450 x y o 405 x y o 200 x y o x y o 300 3900 -3300 3900=300+3600 -3300=300-3600 =300+1x3600 =300 -1x3600 300 =300+0x3600 300+2x3600 , 3002x3600 300+3x3600 , 3003x3600 , , 与300终边相同的角的一般形式为300K3600,K Z 3. 终 边 相 同 的 角 结论: 所有与终边相同的角连同在内可以构 成一个集合:| =+k360, kZ 即:任何一个与角终边相同的角,都可 以表示成角与整数个周角的和。 注意以下四点: kZ, K 0,表示逆时针旋转, K 0,表示顺时针旋转. 是任意角; k360与之间是“+”号,如k36030,应看 成(30)+ k360 ; 终边相同的角不一定相等,但相等的角,终 边一定相同,终边相同的角有无数多个,它们 相差360的整数倍. 所有与终边相同的角连同在内可 以构成一个集合: | =+k360, kZ 即:任何一个与角终边相同的角,都 可以表示成角与整数个周角的和。 例1. 在0360范围内,找出与下列各角终边 相同的角,并判断它是哪个象限的角. (1) 120;(2) 640;(3) 95012. 解:120=240+(-1)360, 120的角与 240的角终边相同, 它是第三象限角 640=280+1 360, 640的角与 280的角终边相同, 它是第四象限角 即:00,3600) 解:95012=12948 +(-3)360, - 95012的角与 12948的角终边相同, 它是第二象限角 (3) 95012. 例1. 在0360范围内,找出与下列各角终 边相同的角,并判断它是哪个象限的角. 例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S, 并把S中在360720间的角写出来: (1) 60;(2) 21;(3) 36314. 解:(1) S=| =60+k360 ,kZ , S中在360720间的角是 0360+60=60; 1360+60=300; 1360+60=420 (2) S=| = 21 +k360,kZ S中在360720间的角是 036021=21; 136021=339; 236021=699 (3) S=| = 36314 +k360,kZ S中在360720间的角是 0360+36314=36314; 1360+36314=314; 2360+36314=35646 例2. 写出与下列各角终边相同的角 的集合S,并把S中在360720 间的角写出来: (1) 60;(2) 21;(3) 36314. 例3写出终边分别落在四个象限的角的集合. 终边落在坐 标轴上的情 形 x y o 0 90 180 270 +K 360 +K 360 +K 360 +K 360 或360+ K 360 第一象限的角表示为 |k360 90 + k360,kZ; 第二象限的角表示为 | 90 + k360180 +k360,kZ; 第三象限的角表示为 | 180 + k360 270 + k360,kZ 第四象限的角表示为 | 270 + k360 360 + k360,kZ 例4 写出终边落在Y轴上的角的集合。 终边落在坐标轴上的情形 x y o 00 900 1800 2700 +K 3600 +K 3600 +K 3600 +K 3600 或3600K 3600 例4解:终边落在轴非负半轴和非正半轴上 的角的集合分别记为为S1,S2 S1=| =90 +K360,KZ S2=| =270+K360,KZ =| =90+180+K360,KZ =| =90+(2K+1)180,KZ 即:S2=| =90+ 180的奇数倍 同理S1=| =90+ 180 的偶数倍 终边落在轴上的角的集合为S=S1S2 S =| =90+K 180 ,KZ 例5.写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S 中适合不等式-360720的元素写出来. 【解析】S=|=45+k180,kZ. S中适合不等式-360720的元素有:- 315,-135,45,225,405,585. 小结 : 1.任意角 的概念 正角:射线按逆时针方向旋 转形成的角 负角:射线按顺时针方向 旋转形成的角 零角:射线不作旋转形成的角 1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴 2.象限角 终边落在第几象限就是第几象限角 3 . 终边与 角相同的角 K3600,KZ 4:在0到360度内找与已知角终边相同 的角,方法是:用所给角除以3600。 所给角是正的:按通常的除法进行;所 给角是负的:角度除以3600,商是负数 ,它的绝对值应比被除数为其相反数时 相应的商大1,以便使余数为正值。 5:判断一个角是第几象限角,方法是: 所给角 改写成 : 0+k 3600 ( KZ,00 03600)的形式, 0在第几 象限 就是第几象限角 1锐角是第几象限的角?第一象限的角是否 都是锐角?小于90的角是锐角吗?区间 (0,90)内的角是锐角吗? 答:锐角是第一象限角;第一象限角不一定 是锐角;小于90的角可能是零角或负角,故 它不一定是锐角;区间(0,90)内的角是锐角 2已知角的顶点与坐标系原点重合,始边 落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,并 指出它们是哪个象限的角? (1)420,(2) 75,(3)855,(4) 510 答:(1)第一象限角; (2)第四象限角, (3)第二象限角, (4)第三象限角. 3、已知,角的终边相同,那么的终边 在( ) A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上 A 4、终边与坐标轴重合的角的集合是( ) A |=k360 (kZ) B |=k180 (kZ) C |=k90 (kZ) D |=k180+90 (kZ) C 5 、已知角2的终边在x轴的上方,那么是( ) A 第一象限角 B 第一、二象限角 C 第一、三象限角 D 第一、四象限角 C 6、若是第四象限角,则180是( ) A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 C 7、在直角坐标系中,若与终边互相垂直, 那么与之间的关系是( ) A. =+90o B =90o C =k360o+90o+,kZ D =k360o90o+, kZ D 8、若90135,则的范围是 _,+的范围是_; (0,45)(180,270) 9、若的终边与60角的终边相同,那么在 0,360)范围内,终边与角 的终边相同的 角为_; 解:=k360+60,kZ. 所以 =k120+20, kZ. 当k=0时,得角为20, 当k=1时,得角为140, 当k=2时,得
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