复合函数与隐函数求导法.ppt

第八章 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、一个方程所确定的隐函数 及其导数 三、方程组所确定的隐函数组 及其导数 复合函数与隐函数的求导方法 一、复合函数求导 复合函数求导法则 先回忆一下一元复合函数的微分法则 则复合函数 对 x 的导数为 这一节我们将把这一求导法则推广到多元函 数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐 函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函 数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的 微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数 微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元 复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？ 这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数 如它是由 复合而成的 由于 f 没有具体给出 一元复合函数的微分法则就无能为力了，为 此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的 微分法。 一、链式法则 证 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 以上公式中的导数 称为全导数全导数. . 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： 链式法则如图示 称为标准法则或 这个公式的特征： 函数 有两个自变量 x 和 y 故法则中包含两个公式； 由于在复合过程中有两个中间变量 u 和 v 故法则中每一个公式都是两项之和，这两 项分别含有 每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似， 即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自 变量的导数” 多元复合函数的求导法则简言之即： “分道相加，连线相乘” 特殊地其中 即 令 两者的区别 区别类似 注 此公式可以推广到任意多个中间变量和任 意多个自变量的情形 如 则 从以上推广中我们可以得出：所有公式中 两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自 变量的个数无关 关于多元复合函数求偏导问题 这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二 阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求 强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将 会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用 公式 用图示法表示出函数的复合关系 函数对某个自变量的偏导数的结构 （项数及项的构成） 的结构是求抽象的复合函 数的二阶偏导数的关键 弄清 仍是复合函数 且复合结构与原来的 f ( u , v ) 完全相同 即仍是以 u , v 为中间变量，以 x , y 为自变量 的复合函数 因此求它们关于 x , y 的偏导数时必须使链式法则 在具体计算中最容易出错的地方是对 再求偏导数这一步 是与 f ( u , v ) 具 有相同结构的复合函数易被误认为仅是 u 的 函数，从而导致漏掉 原因就是不注意 求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量 注意引用这些公式的条件 外层函数可微（偏导数连续）内层函数可导 的合并问题 视题设条件 解 解 例3 设 均满足复合函数求偏导数的条件 计算 （两重复合问题） 解由链式法则 故 同理可得 解 令 记 同理有 于是 二、全微分形式不变性 全微分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的. 利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的 过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以 不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理 且作微分运算的结果对自变量的微分 来说是线性的 从而为解题带来很多方便，而且也不易出错 例5 设 各函数满足求导条件求 解一 变量间的关系如下图所示 这里变量间的关系比较混乱 用全微分来解由全微分定理 注意到 x , z 是独立自变量 解二 由全微分定义 注 解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错 故 三、小结 1、链式法则（分三种情况） （特别要注意课中所讲的特殊情况） 2、全微分形式不变性 （理解其实质） 思考题 思考题解答 本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 则方程 单值连续函数 y = f (x) ,并有连续 (隐函数求导公式) 定理证明从略，仅就求导公式推导如下 ： 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 满足条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数 两边对 x 求导 在的某邻域内 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 二阶导数 : 则还有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 验证方程在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解: 令 连续 , 由 定理1 可知, 导的隐函数 则 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两边对 x 求导 两边再对 x 求导 令 x = 0 , 注意此时 导数的另一求法 利用隐函数求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2 . 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 满足 在点 满足: 某一邻域内可唯一确 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两边对 x 求偏导 同样可得 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设 解法1 利用隐函数求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导 解法2 利用公式 设 则 两边对 x 求偏导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设F( x , y)具有连续偏导数, 解法1 利用偏导数公式. 确定的隐函数,则 已知方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 对方程两边求微分:解法2 微分法. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 由 F、G 的偏导数组成的行列式 称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即 雅可比 目录 上页 下页 返回 结束 定理3. 的某一邻域内具有连续偏 设函数 则方程组 的单值连续函数 且有偏导数公式 : 在点 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 满足: 导数 ； 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理证明略. 仅推导偏导 数公式如下 ： (P34-P35) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有隐函数组则 两边对 x 求导得 设方程组 在点P 的某邻域内 公式 目录 上页 下页 返回 结束 故得 系数行列式 同样可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 设 解: 方程组两边对 x 求导，并移项得 求 练习: 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案: 由题设 故有 例5.设函数在点(u,v) 的某一 1) 证明函数组 ( x, y) 的某一邻域内 2) 求 解: 1) 令 对 x , y 的偏导数. 在与点 (u, v) 对应的点 邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有 连续偏导数的反函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 式两边对 x 求导, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有 由定理 3 可知结论 1) 成立. 2) 求反函数的偏导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 从方程组解得 同理, 式两边对 y 求导, 可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 从方程组解得 同理, 式两边对 y 求导, 可得 例5的应用: 计算极坐标变换 的反变换的导数 . 同样有 所以 由于 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 隐函数( 组) 存在定理 2. 隐函数 ( 组) 求导方法 方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 利用微分形式不变性 ; 方法3. 代公式 思考与练习 设求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数. 作业 P37 3 , 6， 7 , 9 , 10(1); (3)，11 第六节 目录 上页 下页 返回 结束 由d y, d z 的系数即可得 备用题 分别由下列两式确定 :又函数 有连续的一阶偏导数 ,1. 设 解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得 (2001考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解得 因此 2. 设 是由方程和 所确定的函数 , 求 解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得 (99考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法2 微分法. 对各方程两边分别求微分: 化简得 消去 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可得 解: 二元线性代数方程组解的公式 雅可比(1