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第七讲 泰勒(Taylor)级数 罗朗(Laurent)级数 在z - z0=R 2外发散。 z0 R1 R2 z0 R2 R1 A (2)在圆环域的边界z - z0=R1, z - z0=R2上, 正项的收敛半径是R2，负项的是R1 3. 函数展开成双边幂级数 定理 注意：跟泰 勒展开的Cn 表达式不同 证明 由复连通域上的Cauchy 积分公式： D z0 R1 R2 r R k1 k2 D1 z 记为I1记为I2 式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进 行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路 定理可将cn写成统一式子： 证毕！ 级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分。 A (2)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点 z0的邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那么 就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开。 级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分。 4. 展开式的唯一性 结论 一个在某一圆环域内解析的函数展开为含 有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z) 的洛朗级数。 事实上， D z0 R1 R2 c D z0 R1 R2 c A 由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可 用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方 法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有 在个别情况下，才直接采用公式(5)求Laurent系 数的方法。 例1 解 例2 解 例3 解 例4 x y o 12 x y o 12 x y o 12 解: 没 有 奇 点 注意首项 (2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理 函数分解成多项式与若干个最简分式之和， 然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的 形式。 小结：把f (z)展成洛朗( Laurent )级数的方法： 解 (1) 在(最大的)去心邻域 例5 y x o 12 总之原则是一定要使f(z) 在z的邻域内解析 (2) 在(最大的)去心邻域 x o 12 练习： 作泰勒展开时一定记住 ，f(z)在收敛圆内解析 ！ A (2)根据区域判别级数方式： 在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)级数， 在环域内需要把f (z)展成洛朗( Laurent )级数。 A (3) Laurent级数与Taylor 级数的不同点： Taylor级数先展开求R, 找出收敛域。 Laurent级数先求 f(z) 的奇点，然后以 z0 为中心，奇点为分隔点，找出z0到
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