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返回返回后页后页前页前页 *3 复变量的指数函数ex欧拉公式 设有复数项级数 其中每一项项都是复数 (为实为实 数, i为为 虚部单位, ), 则(1)式可写成 以 Sn 表示(1)的第n个部分和, 并记 返回返回后页后页前页前页 则有 若用A, B 分别记这两个极限值, 则级数(1)的和为A+iB. 据此, 级数(1)收敛的充要条件是: 级数 都收敛. 级数(1)各项 un 的模为 返回返回后页后页前页前页 若级数 收敛, 则称级数(1)绝对收敛. 由关系式 可证得: 若级数(1)绝对收敛, 则级数(1)必收敛. 设为复数, z为复变量, 则称级数 为为复数项幂级项幂级 数. 若使得级级数(3)收敛敛, 则则称其 返回返回后页后页前页前页 在点z0收敛. 所有使级数(3)收敛的全体复数构成复 数项幂级数(3)的收敛域. 记 这时和1实数项幂级数一样可证得: 级数(3)对一 切满满足 返回返回后页后页前页前页 级数(3)的收敛敛半径(当 时时, ; 当 原点为中心, R为半径的圆. 例如级数 由于 ), 则级则级 数(3)的收敛敛范围围是复平面上的以原 时时, 故级数(4)的收敛半径 , 即(4)在整个复平面 返回返回后页后页前页前页 上都是收敛的, 当 z 为实变量x时, (4)的和函数为实 . 因此, 我们们也把级级数(4)的和函数, 变量的指数函数 定义为复变量z的指数函数 , 即 用同样的方法可定义复变量的正弦函数与余弦函 数: 返回返回后页后页前页前页 它们的收敛域都是整个复平面. 以iz代替(5)式中的z, 可得 返回返回后页后页前页前页 联系(6)与(7)式, 就有 当z为实变量 x 时, 则得 它称为欧拉公式. 这个公式给出了(实变量)指数函 数与三角函数之间的关系. 由于任一复数 z 都可写作(r为为z的模, 即 为为 z 的幅角), 那么由欧拉公式可 得复数的指数形式 返
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