《基本复习题》word版.doc

若干公式|A*|=|A|n-1, A*A=I, |AT| = |A|,|lA| = ln|A|,j(A)的特征值j(l)基本问题一、 Ch1计算行列式二、 Ch1求逆矩阵三、 Ch2判断线性相关性四、 Ch2求秩, 求最大无关组五、 Ch2解线性方程组(齐次的)六、 Ch2解线性方程组(非齐次的)七、 Ch3求特征值和特征向量八、 Ch3矩阵的对角化九、 Ch4向量组的正交化十、 Ch4二次型的正交标准化十一、 Ch4二次型正定性的判断一、 Ch1计算行列式1.12(2) 计算下列行列式 .二、 Ch1求逆矩阵1.7(1)利用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:三、 Ch2判断线性相关性2.1(3) 讨论下列向量组的线性相关性:可见, 故向量组线性相关. 是一个最大无关组.四、 Ch2求秩, 求最大无关组2.2(3) 求向量组的秩和最大无关组.五、 Ch2解线性方程组(齐次的)2.3(1) 求解下列齐次线性方程组.对方程组的系数矩阵作行初等变换得简化行阶梯形(Reduced row echelon form, RREF). 对应的同解方程组为,方程组的解为.六、 Ch2解线性方程组(非齐次的)2.5(1) 求下列非齐次线性方程组的通解.对方程组的增广矩阵作行初等变换, 将之化为简化行阶梯形立刻得到方程组的通解七、 Ch4求特征值和特征向量3.1(4)求下列矩阵的特征值和特征向量.解特征方程得特征值.对于特征值, 解齐次线性方程组. 其系数矩阵,可见特征向量为.对于特征值, .可见特征向量为(不全为0).八、 Ch4矩阵的对角化4.10(1) 将下列矩阵对角化, 并求, 使(为对角阵):.解特征方程得特征值.对于, 得特征向量. 选.对于, 得特征向量 (k2, k3不全为0). 选.令, 则有.九、 Ch3向量组的正交化4.5设试用施密特正交化方法把这组向量正交规范化.正交化: 单位化: 十、 Ch5二次型的正交标准化4.20(2) 用正交变换化下列二次型为标准形:二次型的矩阵为. 解特征方程,得的特征值,.对于特征值, , 取特征向量.对于特征值, . 取特征向量.对于特征值, . 取特征向量.是正交的. 令,则是正交的. 作正交变换, 则给出的二次型化为标准形.十一、 Ch5二次型正定性的判断4.23判别下列二次型的正定性:(1)(2)(1)二次型的矩阵的各阶主子式依次为.故二次型不是正定的也不是负定的.(2) 二次型的矩阵的各阶主子式依次为.故二次型是正定的.若干联系向量组构成矩阵线性组合l 向量能由向量组线性表示有解l 向量组线性相关有非零解(=向量个数=未知数个数)基础解系含个解向量.部分定理定理2.1若线性无关, 而线性相关. 则可以由线性表示.定理2.2()线性相关的充要条件是至少有一个向量是其余向量的线性组合.定理2.4m个行向量线性相关的充要条件是.定理2.5矩阵A的秩等于r的充要条件是A中有r个行向量线性无关，但任意r + 1个行向量（如果存在）都线性相关.引理2.1设向量组可由向量组线性表示.如果,则线性相关.定理2.8 设有向量组T，如果(1)在T中有r个向量线性无关。(2)T中任意一个向量都可以由向量组线性表示。则是向量组T的一个最大无关组。定理2.9齐次线性方程组(2.11), 当其系数矩阵的秩时，只有唯一的零解；当时，有无穷多个解。定理2.10基础解系含有n - r个解向量.定理2.11非齐次线性方程组有解的充要条件是, 他的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等.定理2.12把非齐次线性方程组（2.17）的某个特解加到对应的齐次线性方程组（2.11）的通解上，就得到（2.17）的通解.定理3.1 阶方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值.定理3.2 设阶方阵A有互不相同的特征值, (iE A)x= 0的基础解系为. 则；线性无关.定理3.3 设n阶方阵A = (a ij) 的特征值为1 , 2, , n，则有(1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann (3.9)(2) 12 n = |A| (3.10)定理3.4 设A为n阶方阵, (A) = a0I + a1A + amAm， 若为A的特征值, 则() = a0 + a1 + + am m是(A)的特征值.定理3.5 若n阶方阵A与B相似, 则它们具有相同的特征多项式和特征值.性质3.2 若阶方阵与相似, 则(1), (2).定理3.6 n阶矩阵A与n阶对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.定理3.6推论3.2 若阶矩阵有个相异的特征值, 则与对角阵相似.定理3.7 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个重特征值对应着个线性无关的特征向量.定理4.1 对任意n维向量x和y, 恒有.定理4.2 若n维向量组是正交向量组, 则线性无关.定理4.3 设n维向量组线性无关，令=则得到的是正交向量组，且与等价。 上述定理4.3从线性无关组导出正交向量组的过程称为施密特(Schmidt)正交化过程。它不仅满足与等价, 还满足:对任何, 向量组与等价。定理4.4 方阵A是正交矩阵充分必要条件为A的列(行)向量组是标准正交向量组. 定理4.5 正交变换不改变向量的内积, 从而不改变向量的模, 夹角和距离.定理4.6 实对称矩阵的特征值为实数.定理4.7 设1, 2是实对称矩阵A的两个特征值, P1, P2是对应的特征向量. 若1 2, 则P1与P2正交.定理4.8 若i是实对称矩阵A的k重特征值, 则存在k个属于i的线性无关的特征向量.定理4.9 设A为n阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵P，使P-1AP = = 其中1, 2, , n是A的特征值.定理4.10 任给可逆矩阵C, 令B = CTAC, 如果A为对称矩阵, 则B亦为对称矩阵, 且R(B) = R(A). 定理4.11 任给二次型f () =TA, 总有正交变换= Py, 使f化为标准形f = 1y12 + 2y22 + + nyn2,其中为A的全部特征值。 定理4.12 实二次型f =TA为正定的的充分必要条件是: 它的标准形的n个系数全为正。定理4.13 若A是n阶实对称矩阵, 则下列命题等价: (1) TA是正定二次型(或A是正定矩阵); (2) A的正惯性指标为n. (3) 存在可逆阵P, 使得A