复变函数：第5章留数.ppt

第4章级数 l本章的学习目标 了解幂级数的概念; 会求泰勒级数; 会把函数在展开成幂级数; 知道幂级数和罗伦级数的区别与联系; 会求函数在不同的收敛圆环域内的罗伦级数. 4.1 幂级数 4.1.1幂级数的概念 同实变函数一样,关于幂级数也有: 1.收敛圆与收敛半径 2.级数在其收敛圆内有如下性质: 1)可以逐项求导. 2)可以逐项积分. 3)在收敛圆内, 幂级数的和函数是解析函数. 例1求 的收敛半径(并讨论在收敛圆周 上的情形) 解: 因为 所以, 收敛半径 即原级数在圆内 收敛,在圆外发散. 在圆 周 上, 原级数收敛, 所以原级数在收敛圆内和收敛圆周上处处收敛. 4.1.2泰勒级数 l我们经常利用泰勒展开式的唯一性及幂级数的 运算和性质(级数在其收敛圆内可以逐项求导, 可以逐项积分)来把函数展开成幂级数,即利用 间接的方法, 把函数展开成幂级数. 4.1.2泰勒级数 定理一 若函数 在圆盘 内解析,则 在该圆盘内可展成的幂级数,这种展式是唯一 的,且为 (4.1.3) 或 其中 这个公式(4.1.3) 称为 在 的泰勒展开式, 它 的右端称为 在 的泰勒级数, 称 为泰勒系数. 利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系 数,把函数展开成幂级数. (4.1.4) (4.1.5) (4.1.6) (4.1.7) l1. 只要函数 在圆盘 内解析, 就 可在 展开成泰勒级数; l2. 此时泰勒级数, 泰勒展开式, 的幂级数 为同意语; l3. 若 在 平面内处处解析,则; l4. 若 只在区域 内解析, 为内 的一点, 则 在 的泰勒展开式的收敛半径 等于 到的 边界上各点的最短距离; l5. 若 在 平面上除若干孤立奇点外内处处解 析,则 等于 到最近的孤立奇点的距离. 例2把函数 展开成 的幂级数 l解: 函数 在 内处处解析, l由公式(4.1.7) l把上式两边逐项求导,即得所求的展开式 罗伦级数 定理二 设函数 在圆环域 ,内处处解 析,那末 (4.2.1) 其中 (4.2.2) 4.2 罗伦级数 l幂级数在其收敛圆内具有的许多性质在收敛圆 环域: 内的罗伦级数也具有. l1.在收敛圆环域内的罗伦级数可以逐项求导, l2.在收敛圆环域内的罗伦级数可以逐项积分, l3.在收敛圆环域内的罗伦级数的和函数是解析 函数 求罗伦展开式的系数 l罗伦展开式的系数 用公式(4.2.2)计算是很 麻烦的,由罗伦级数的唯一性,我们可用别的方 法,特别是代数运算,代换,求导和积分等方法展 开,这样往往必将便利(即间接展开法). l同一个函数在不同的收敛圆环域内的罗伦级数 一般不同; 由罗伦级数的唯一性可知,同一个函 数在相同的收敛圆环域内的罗伦级数一定相同 . 例3把函数 展开成 的级数 解: 因为 所以 例4把函数 在收敛圆环域 内 展开成罗伦级数. 解: 因为 所以, 例5把函数 在收敛圆环域 内 展开成罗伦级数. 解: 因为 所以, 例5把函数 在收敛圆环域 内 展开成罗伦级数. 解: 因为 所以, l通过例3、例4、例5可