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第六节 高阶导数 一、问题的提出 二、主要定理 三、典型例题 四、小结与思考 1 一、问题的提出 问题: (1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函 数相同? 回答: (1) 解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通 过积分来表示, 这与实变函数完全不同. 解析函数高阶导数的定义是什么? 2 二、主要定理 定理 证 3 根据导数的定义, 从柯西积分公式得 4 5 6 再利用以上方法求极限 7 至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 证毕 高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导 来求积分. 8 三、典型例题 例1 解 9 10 根据复合闭路定理 11 12 例3 解 由柯西古萨基本定理得 由柯西积分公式得 13 14 例4 解 15 根据复合闭路定理和高阶导数公式, 16 17 例5 (Morera定理) 证 依题意可知 18 参照本章第四节定理二, 可证明 因为解析函数的导数仍为解析函数, 19 四、小结与思考 高阶导数公式是复积分的重要公式. 它表明 了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重 要的结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本 质区别. 高阶导数公式 20 例6 证 不等式即证. 21 思考题 解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导 数与实函数的导数有何不同? 22 思考题答案
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