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第九章 矩阵特征对的数值解法 幂法、反幂法：求极端特征对 本章考虑全部特征对解法！ 9.1 求特征方程根 求三对角矩阵（Jacobi 矩阵）的特征对 特征多项式为 按最后一列展开，得 可以证明，和的根都是实单根，满足 序列的变号数 定义为在的变号数。遇到时， 去掉。例如， 则 定理9.1 的变号数就是三对角矩阵 在 上的特征值个数。进而，若 在区间 则 上的特征值个数为 线性代数中如下结果可用于估计特征值所在区间： 1）矩阵 的迹 = 的特征值之和 2） 3）圆盘定理：的特征值均位于以下个圆盘的并集中： 特别地，个圆盘的相交部分中必有个特征根， 孤立的圆盘中必有一个特征根。 求Jacobi矩阵之特征对的攻略： 1）综合利用变号数、圆盘定理等确定有根区间。 2）在有根区间上用二分法或Newton法求的根 。 3）用反幂法求 的特征向量 例1. 求在（0，3.5）中的全部特征值： 解. 先计算变号数。由 得 从而 即在0,3.5 上有两个根。进一步，可以算出 因此，在（0,1.5）和（1.5，3.5）上各有一个根。可以用二 分法求出： 上有单根。 上有单根。 上有单根。 上有单根。 9.1.2 对称矩阵化为Jacobi矩阵 定义. 次对角线以下元素都为零的准上三角矩阵称为 Hessenberg矩阵（H阵）。若次对角元素皆非零，则称为 不可约Hessenberg矩阵。 对方阵 可以通过Household变换化成H阵： 选取 其中使得 于是， 如此进行 步之后，得到Hessenberg矩阵 特别地，当是对称矩阵时， 成为Jacobi阵。 可以用变号数方法以及二分法等等求解。 例. 求对称矩阵特征值 解. 先计算Househould矩阵： ?算 错了？ 作用到 得 算出 由 知 在（0，5）间至少有 一个根。类似可以看出在（5，8）和（14，20）间各有 一个根。 再用二分法或Newton法即可求出特征值。 9.3 方法 9.3.1 基本公式 已知，任意矩阵可以分解为正交矩阵和上三角 矩阵的乘积。可惜的是不相似于，不能 直接用来求特征值。但是，毕竟 是上三角矩阵。 相似变换
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