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复合函数的 求导法则 高二数学 选修2-2 第4章 导数及其应用 一、复合函数的求导法则 1、引例 (1)求 的导数 解1 解2 因为 所以 解1是错误的。 因为 是基本初等函数，而 是复 合函数。 (2)求y=lnsinx的导数 ? 2、法则5 设 ，且 在点 处可导， 在相应点 处可导。则函数在点 处也可导， 且 或 记作 证： 设自变量 在点 处取得改变量 ，中间变量 则取得相应改变量 ，从而函数 取得改变量 。当 时， 有 因为 在 处可导，从而在 处必连续， 所以当 时， 。因 此 于是得 即 当 时，可证上式亦成立。 求 的导数 因为 于是 解：设则 二、举例 (A) 例1 求函数 的导数 解：设 因为 所以 (B) 例2 求函数 的导数 因为 所以 则 (A) 例3 求函数 的导数 解：设 则 因为 所以 练习 （A）1、求函数 的导数 解： 设 因为 所以 复合函数的求导法则可推广到有限次复合的情形。 如设 那么对于复合函 数 ，我们有如下求导法则： (B) 例4 求 的导数 解： 设 由 得 即 (B) 例5 求 的导数。 解： 设 由 得 熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心 ，由外及里、逐层求导。 (A) 例6 求 的导数 解 ： y= (3x+2)5 =5(3x+2)4(3x+2) =5(3x+2)4(3+0)=15(3x+2)4 (A) 例7 求 的导数 解： y=(cosx)2 =2cosx (cosx) =2cosx (-sinx) (B) 例8 求 的导数 解：解：y=sin(x3)2=2sin(x3) sin(x3) =2sin(x3) cos(x3) (x3) =2sin(x3) cos(x3) 3x2 =6x2sin(x3) cos(x3) (B) 例9 求 的导数 解：解：y=lnsin(4x) = sin(4x) = cos(4x)(4x) = cos(4x) 练习 求下列函数的导数 (A)1. 解： (A)2. 解： (B)3. 解： （C）4. 解 ： (A) 例10 求下列函数的导数 综合运用求导法则求导 (B) 例11 求下列函数的导数 解： （1） 解 ： （2） 先化简再运用导数法则求导 (C) 例12 求下列函数的导数 解 ：先将已知函数分母有理化，得 （1） 解： 因为 所以 解：因为 所以 （2） （3） 练习 求下列函数的导数 三、小结 1、复合函数求导的关键，在于首先把复合函数分解成 初等函数或基本初等函数的和、差、积、商，然后运用 复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算。求导 之后应该把引进的中间变量代换成原来的自变量。 2、 熟悉了复合函数的求导法则后，可不写出中间变量， 直接由外
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