【高中数学课件】任意角的三角函数复习课件.doc

天马行空官方博客：/tmxk_docin ；QQ:1318241189；QQ群：175569632高考数学必胜秘诀（4）三角函数1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。3. 终边相同的角的表示： （1）终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是，合弧度。（答：；）（2）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上) .（3）终边与终边关于轴对称.（4）终边与终边关于轴对称.（5）终边与终边关于原点对称.（6）终边在轴上的角可表示为：；终边在轴上的角可表示为：；终边在坐标轴上的角可表示为：.如的终边与的终边关于直线对称，则_。（答：）4、与的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若是第二象限角，则是第_象限角（答：一、三）5.弧长公式：，扇形面积公式：，1弧度(1rad). 如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2）6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。如（1）已知角的终边经过点P(5，12)，则的值为。（答：）；（2）设是第三、四象限角，则的取值范围是_（答：（1，）；（3）若，试判断的符号（答：负）7.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线OM“躺在轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点处(起点是)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如（1）若，则的大小关系为_(答：)；（2）若为锐角，则的大小关系为_ （答：）；（3）函数的定义域是_（答：）8.特殊角的三角函数值：3045600901802701575010110101002-2+1002+2-9. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商数关系：同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如（1）函数的值的符号为_（答：大于0）；（2）若，则使成立的的取值范围是_（答：）；（3）已知，则_（答：）；（4）已知，则_；_（答：；）；（5）已知，则等于A、B、C、D、（答：B）；（6）已知，则的值为_（答：1）。10.三角函数诱导公式（）的本质是：奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,；(2)转化为锐角三角函数。如（1）的值为_（答：）；（2）已知，则_，若为第二象限角，则_。（答：；）11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： 如（1）下列各式中，值为的是 A、 B、C、D、（答：C）；（2）命题P：，命题Q：，则P是Q的A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件（答：C）； （3）已知，那么的值为_（答：）；（4）的值是_（答：4）；(5)已知，求的值（用a表示）甲求得的结果是，乙求得的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是_（答：甲、乙都对）12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，等），如（1）已知，那么的值是_（答：）；（2）已知，且，求的值（答：）；（3）已知为锐角，则与的函数关系为_（答：）(2)三角函数名互化(切割化弦)，如（1）求值（答：1）；（2）已知，求的值（答：）(3)公式变形使用（。如（1）已知A、B为锐角，且满足，则_（答：）；(2)设中，则此三角形是_三角形（答：等边）(4)三角函数次数的降升(降幂公式)：，与升幂公式：，)。如(1)若，化简为_（答：）；（2）函数的单调递增区间为_（答：）(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如（1） （答：）；（2）求证：；（3）化简：（答：）(6)常值变换主要指“1”的变换（等），如已知，求（答：）.(7)正余弦“三兄妹”的内存联系“知一求二”，如（1）若 ，则 _（答：)，特别提醒：这里；（2）若，求的值。（答：）； （3）已知，试用表示的值（答：）。13、辅助角公式中辅助角的确定：(其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用。如（1）若方程有实数解，则的取值范围是_.（答：2,2）；（2）当函数取得最大值时，的值是_(答：)；（3）如果是奇函数，则=(答：2)；（4）求值：_(答：32)14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数和余弦函数图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。15、正弦函数、余弦函数的性质：（1）定义域：都是R。（2）值域：都是，对，当时，取最大值1；当时，取最小值1；对，当时，取最大值1，当时，取最小值1。如（1）若函数的最大值为，最小值为，则_，（答：或）；（2）函数（）的值域是_（答：1, 2）；（3）若，则的最大值和最小值分别是_（答：7；5）；（4）函数的最小值是_，此时_（答：2；）；（5）己知，求的变化范围（答：）；（6）若，求的最大、最小值（答：，）。特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？（3）周期性：、的最小正周期都是2；和的最小正周期都是。如(1)若，则_（答：0）；(2) 函数的最小正周期为_（答：）；(3) 设函数，若对任意都有成立，则的最小值为_（答：2）（4）奇偶性与对称性：正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点）。如（1）函数的奇偶性是_（答：偶函数）；（2）已知函数为常数），且，则_（答：5）；（3）函数的图象的对称中心和对称轴分别是_、_（答：、）；（4）已知为偶函数，求的值。（答：）（5）单调性：上单调递增，在单调递减；在上单调递减，在上单调递增。特别提醒，别忘了！ 16、形如的函数：（1）几个物理量：A振幅；频率（周期的倒数）；相位；初相；（2）函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如，的图象如图所示，则_（答：）；（3）函数图象的画法：“五点法”设，令0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。（4）函数的图象与图象间的关系：函数的图象纵坐标不变，横坐标向左（0）或向右（0，且 即所求函数的值域为 .（5）注意到所给函数为偶函数，又当 此时 同理，当 亦有 .所求函数的值域为 .（6）令 则易见f（x）为偶函数，且 是f（x）的一个正周期.只需求出f（x）在一个周期上的取值范围.当x0， 时， 又注意到 ，x 为f（x）图象的一条对称轴只需求出f（x）在0， 上的最大值.而在0， 上， 递增. 亦递增由得f（x）在0， 上单调递增. 即 于是由、得所求函数的值域为 .点评：解（1）（2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是求解关于sinxcosx与sinxcosx的函数值域的特定方法；解（4）借助平方转化；解（5）（6）则是利用函数性质化繁为简，化暗为明.这一点在解（6）时表现得淋漓尽致.例2、求下列函数的周期：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为 k的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理.解：（1） 所求最小正周期 .（2） 所求周期 .（3） .注意到 的最小正周期为 ，故所求函数的周期为 .（4） 注意到3sinx及-sinx的周期为2 ，又sinx0（或sinx0）的解区间重复出现的最小正周期为2 .所求函数的周期为2 .（5） 注意到sin2x的最小正周期 ，又sinx0（或sinx0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则m的最小正值为 。（5）对于函数 ，给出四个论断：它的图象关于直线x 对称；它的图象关于点（ ,0）对称；它的周期为 ；它在区间 ，0上单调递增.以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它是。分析：（1）这里 的递增区间 的正号递减区间 递增且 应填（）（2）由f（x）递增得 易见， 由f（x）递减得 当k0时， 注意到 而不会属于其它减区间，故知这里a的最大值为 .（3）（）令 所给函数图象的对称中心为（ ，0） ；（） 解法一（直接寻求）在中令 则有又在中令k0得 ，令k1得 所求距离为 解法二（借助转化）：注意到所求距离等于函数的最小周期的一半，又由得这一函数的最小正周期为T ，故所求距离为 .（4）这里 将这一函数图象向左平移m（m0）个单位，所得图象的函数解析式为 令 则由题设知f（x）为偶函数 f（x）f（x） 所求m的最小值为 .（5）为使解题的眉目清晰，首先需要认定哪个论断必须作为条件，哪个论断只能作为结论，哪个论断既可作为条件，又可作为结论；一般地，独自决定图象形状的论断必须作为条件，既不能决定形状，也不能确定位置的论断只能作为结论.在这里，必须作为条件，而只能作为结论.于是这里只需考察、 、与、 、这两种情形.（）考察、 、是否成立.由得 ，故 ；又由得注意到 .在、之下， ，易知此时、成立.（）考察、 、是否成立.由得 ，故 ；又由得 注意到 .在、之下， ，易知此时、成立.于是综合（）（）得正确的命题为、 、与、 、.点评：对于（4）利用了如下认知： ； .对于（5），认定哪个论断必须作为条件，哪个论断必须作为结论是认知问题和简化解题过程的关键，请大家注意领悟和把握这一环节.例5、已知 的最小正周期为2，当 时，f（x）取得最大值2.（1）求f（x）的表达式；（2）在闭区间 上是否存在f（x）图象的对称轴？如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由.分析：出于利用已知条件以及便于考察f（x）的图象的对称轴这两方面的考虑，先将f（x）化为k的形式，这是此类问题的解题的基础.解：（1）去 令 ， ，即 则有得又由知 ，注意到这里A0且B0，取辅助角 ，则由得（2）在中令 解得xk 解不等式注意到 ，故由得k5.于是可知，在闭区间 上有且仅有一条对称轴，这一对称轴的方程为 .点评：对于最值，对称轴和对称中心等问题，f（x）一经化为 k的形式，解题便胜券在握.例6、已知点 的图象上.若定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，）上是增函数，且g（2）0.求当gf（x）0且x0， 时，实数a的取值范围.分析：由点A、B都在函数 的图象上得： ，ba，c1a. 此时，由gf（x）0且x0， 解出a的范围，一方面需要利用g（x）的单调性脱去“f”，另一方面又要注意借助换元进行转化：化生为熟，化繁为简.因此，下一步的首要工作是考察并利用g（x）的单调性.解：由分析得 定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，）上是增函数，且g（2）0， g（x）在（，0）上是增函数，且g（2）0由知，当x-2或0x2时，g（x）0又设 .则 h（t）at（1a）， .gf（x）0且x0， gh(t)0，且 .由得，当 时，h（t）2或0h(t)2注意到h（t）at（1a）由h（t）2得h（1）2(a0)或h( )0),由0h(t)2得 ，解得 .于是综上可知，所求a的取值范围为 .点评：在这里，由到的转化，是由“抽象”向“具体”的转化，此为解题关键环节.在下面的求解中，对0h(t)2亦可通过分类讨论来完成.对于h（t）at（1a） ，0h(t)0且h（t）0， 当a0时，h(t)在 上递增，由得，h(1)0，显然成立；当a0 （ 1）a10 ；当a0时，h（t）显然满足1h(t)0， 得 1a0 （2）h(t)0时，h(t)在 上递增，由得，h( )2 ；当a0时，h(t)在 上递减由得，h(1)2,显然满足条件；当a0时，h（t）1，显然满足条件.因此由得 于是综合（1）（2）知，由0h(t)2推出 考点七：解三角形掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题。解三角形时，要灵活运用已知条件，根据正、余弦定理，列出方程，进而求解，最后还要检验是否符合题意。例1、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且（1）求tanC的值; （2）若ABC最长的边为1，求b。解：（1）B锐角,且, (2)由(1)知C为钝角, C是最大角,最大边为c=1, , 由正弦定理:得。点评：本题考查同角三角函数公式，两角和的正切，正弦定理等内容，综合考查了三角函数的知识。在做练