连续函数的概念与性质.ppt

主要内容： 一、函数的连续性 二、函数的间断点 三、初等函数的连续性 四、闭区间上连续函数的性质 第一章 函数与极限 第八-九节 连续函数的概念与性质 一、函数的连续性 1.函数的增量 2.连续的定义 例1 证 由定义2知 3.单侧连续 定理 例2 解 右连续但不左连续 , 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如，多项式函数在R上是连续的。 四则运算的连续性 定理1 例如, 意义1.极限符号可以与函数符号互换; 例3 解 定理2 二、函数的间断点 1.跳跃间断点 例4 解 2.可去间断点 例5 解 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 如例5中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 3.第二类间断点 例6 解 例7 解 例8 解 内容小结 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的分类与判别; 2.区间上的连续函数; 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 间断点 (见下图) 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 无穷型振荡型 第二类间断点 o y x o y x o y x 思考题1 思考题1解答 且 1、一类；一类；二类。 2、 定理3 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理4 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 三、初等函数的连续性 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其 定义域内不一定连续; 例如, 这些孤立点的邻域内没有定义. 在0点的邻域内没有定义. 注意1 注意2 初等函数求极限的方法代入法. 例9 例10 解 解 四. 连续性在求极限中的应用 利用函数y=f(u)在u=A点连续的定义，可以证明，如果 特别：（1）当f(u)=au 则 （2）当f(u)=logau 则 (3)当f(u)= (为实数)，则 特别： 第二章中的对数函数、幂函数、指数函数求导公式 的推导过程要用到下面几个极限 例11. 求下列极限 （a0 a1） 解：（1） (重要极限) =lne=1 1、最大值和最小值定理 定义: 例如, 五、闭区间上连续函数的性质 定理3(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值. 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 定理4(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界. 证 2、介值定理 定义: 几何解释: 几何解释: M B C A m a b 证 由零点定理, 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 与最小值 之间的任何值. 例11 证 由零点定理, 例12 证 由零点定理, 小结 四个定理 最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理. 注意 1闭区间； 2连续函数 这两点不满足, 上述定理不一定成立 解题思路 1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理; 2.辅助函数法:先作