积分变换第6讲拉氏变换的性质及应用.ppt

积分变换 第6讲 1 拉氏变换的性质 本讲介绍拉氏变换的几个性质, 它们在 拉氏变换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在这些性质中, 凡是要 求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在 定理中的条件, 并且把这些函数的增长 指数都统一地取为c. 在证明性质时不再 重述这些条件 2 1. 线性性质 若a,b是常数 L f1(t)=F1(s), L f2(t)=F2(s), 则有 L af1(t)+bf2(t)=aF1(s)+bF2(s) L -1aF1(s)+bF2(s)=af1(t)+bf2(t) 此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出. 3 2.微分性质 若L f(t)=F(s), 则有 L f (t)=sF(s)-f(0)(2.3) 证 根据分部积分公式和拉氏变换公式 4 推论 若L f(t)=F(s), 则 L f (t)=sL f(t)-f (0) =ssL f(t)-f(0)-f (0) =s2L f(t)-sf(0)-f (0) . L f(n)(t)=sL f(n-1)(t)-f(n-1)(0) =snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f (0)-.-f(n-1)(0) (2.4) 特别, 当初值f(0)=f (0)=.=f(n-1)(0)=0时, 有 L f (t)=sF(s), L f (t)=s2F(s), ., L f(n)(t)=snF(s)(2.5) 此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转 化为F(s)的代数方程. 5 例1 利用微分性质求函数f(t)=cos kt的拉氏变 换. 由于f(0)=1, f (0)=0, f (t)=-k2cos kt, 则 L -k2cos kt=L f (t)=s2L f(t)-sf(0)-f (0). 即 -k2L cos kt=s2L cos kt-s 移项化简得 6 例2 利用微分性质, 求函数f(t)=tm的拉氏变换, 其中m是正整数. 由于f(0)=f (0)=.=f(m-1)(0)=0, 而f(m)(t)=m! 所以L m!=L f(m)(t)=smL f(t)-sm-1f0)- sm-2f (0)-.-f(m-1)(0) 即 L m!=smL tm 7 此外, 由拉氏变换存在定理, 还可以得到象函 数的微分性质: 若L f(t)=F(s), 则 F (s)=L -tf(t), Re(s)c.(2.6) 和F(n)(s)=L (-t)nf(t), Re(s)c.(2.7) 这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和 求导可以调换次序 8 例3 求函数f(t)=t sin kt的拉氏变换. 9 3. 积分性质 若L f(t)=F(s) 10 重复应用(2.8)式, 就可得到: 11 由拉氏变换存在定理, 还可得象函数积分性质 : 若L f(t)=F(s), 则 12 例4 求函数的拉氏变换. 13 其中F(s)=L f(t). 此公式常用来计算某些积 分. 例如, 14 4.位移性质 若L f(t)=F(s), 则有 L eatf(t)=F(s-a)(Re(s-a)c). (2.12) 证 根据拉氏变换式, 有 上式右方只是在F(s)中将s换为s-a, 因此 L eatf(t)=F(s-a) (Re(s-a)c) 15 例5 求L eattm. 例6 求L e-atsin kt 16 5. 延迟性质 若L f(t)=F(s), 又t0时, 有|e-st|0, 有 =函数的周期拓展 22 例9 求如图所示的单个半正弦波f(t)的拉氏变 换 OT 2 t E f(t) T 2 T 2 O O E E T T t f1(t) f2(t) t 23 由前图可知, f(t)=f1(t)+f2(t), 所以 24 例10 求如下图所示的半波正弦函数fT(t)的拉 氏变换 T 2 3T 2 5T 2 t T2T O E fT(t) 25 由例9可得从t=0开始的单个半正弦波的拉氏 变换为 从而 26 这是一个求周期函数拉氏变换的简单方法, 即设fT(t) (t0)是周期为T的周期函数, 如果 且L f(t)=F(s), 则 27 初值定理与终值定理 28 证 根据拉氏变换的微分性质, 有 L f (t)=L f(t)-f(0)=sF(s)-f(0) 两边同时将s趋向于实的正无穷大, 并因为 29 (2) 终值定理 若L f(t)=F(s), 且sF(s)在 Re(s)0的区域解析, 则 30 证 根据定理给出的条件和微分性质 L f (t)=sF(s)-f(0), 两边取s0的极限, 并由 31 这个性质表明f(t)在t时的数值(稳定值), 可 以通过f(t)的拉氏变换乘以s取s0时的极限值 而得到, 它建立了函数f(t)在无限远的值与函 数sF(s)在原点的值之间的关系. 在拉氏变换的应用中, 往往先得到F(s)再去 求出f(t). 但经常并不关心函数f(t)的表达式, 而是需要知道