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对坐标的曲面积分 一、基本概念 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧 设曲面 是光滑曲面， 是曲面上任一定点曲面 在点 处有一条法线，它有两个可能的方向，选择 其中之一为指定的法线方向，记为 又设L是光滑 曲面 上过点 且不越过曲面边界的任意闭曲线，从 而，当动点M从 出发沿闭曲线L连续移动时，曲面 在点M的法线方向也随之连续变动若M回到 时 得到的法线方向与 一致，则称光滑曲面 为双侧曲面； 若存在这样一条闭曲线，当点M沿这条闭曲线移动后 再回到点 时得到的法线方向与 相反，则称曲面 为单侧曲面 曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面. 典 型 双 侧 曲 面 典型单侧曲面:莫比乌斯带 曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题: 类似地可定义 二、概念的引入 实例: 流向曲面一侧的流量. 1. 分割 则该点流速为 . 法向量为 . 2. 求和 3.取极限 三、概念及性质 积分曲面 被积函数有向面积元 类似可定义 存在条件: 组合形式: 物理意义: 性质: 由定义可知对坐标的曲面积分具有与 对坐标的曲线积分相类似的性质 1。 可加性 2 。 反向性 四、对坐标的曲面积分的计算法 (描述代人法） 注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. 这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式 概括为： 代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入 被积函数，将其化成二元函数 投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy） 中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面） 定号： 由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分 的正负号 一代、二投、三定号 注 积分曲面的方程必须表示为单值显函数 否则分片计算，结果相加 确定正负号的原则： 曲面取上侧、前侧、右侧时为正 曲面取下侧、后侧、左侧时为负 解 例1 22 例2 计算 及平面 z = 1 , z = 2 所围立体的表面的外侧 解 上侧 下侧 外侧 （用极坐标） 例3 计算 平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 所围成的 空间区域的整个边界曲面的外侧 o x y z 解 分成四个部分 左侧 下侧 后侧 上侧 同理 同理 五、两类曲面积分之间的联系 两类曲面积分之间的联系 向量形式 例4 解 注 此例的解法具有普遍性 六、小结 1、物理意义 2、计算时应注意以下两点 曲面的侧
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