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第四节 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分 第六章 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 求质 “分割, 近似，求和, 求极限” 的方法, 量 M. 其中, 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义: 设 为光滑曲面, “乘积和式极限” 都存在, 的曲面积分 f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 f (x, y, z) 叫做被积 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为 函数, 叫做积分曲面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若是封闭曲面，则相应的曲面积分记作： 对积分域的可加性. 则有 线性性质. 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 若 是分片光滑的,例如分成两 片光滑曲面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质： 对面积曲面积分的对称性，与三重积分的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对称性类似. 若积分曲面关于xoy平面对称， 为xoy平面上面的部分 若积分曲面关于yoz平面或xoz平面对称，情况类似。 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 上连续, 存在, 由于 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以 注: 如果曲面方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 如果曲面方程为 则 设则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 问题？ 当 为xoy平面内的一个区域时，曲面积分 化为什么样的二重积分？ 提示： 例1. 计算曲面积分其中是球面 被平面截出的顶部. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 若 是球面被平行平面 z =h 截 出的上下两部分, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 xoy 面上的投影域为： 这是 的面积 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2.计算其中 在xoy平面以上的部分。 解： 例3. 计算其中 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 上的部分, 则 与 原式 = 分别表示 在平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4.计算曲面积分其中是由圆柱面 平面及所围成的立 体表面. (P118例4.2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习： 设 是四面体 的表面, 计算 解: 在四面体的四个面上 同上 平面方程投影域 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 定义: 2. 计算: 设则 (
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