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3.1.3空间向量的数量积运算 第二课时 D 在三棱锥OABC中，点M是ABC的重心 ，求证： . O A B C M 1. 空间向量共线定理 若 ，则点P、A、B共线 的充要条件是xy1。 2. 空间向量共面定理 对空间任一点O和不共线三点A、B、C， 若 ，则点P在 平面ABC内的充要条件是 xyz1. 若向量 不共线，则向量 与 共 面的充要条件是：存在惟一的有序实数 对(x，y)，使 . 3.利用空间向量共线定理和共面定 理，可以解决立体几何中的共点、 共线、共面和平行等问题，这是 一种向量方法. 1.数量积的定义 规定： （1）两向量的数量积是一个数量， 注意 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹 角为 ，我们把数量 叫做a 与 b 的数量积（或内积），记作a b ，即 （2） a b不能写成ab ，不能省. 1.数量积的定义 数量积ab等于a的模与b在a方向上 的投影bcos的乘积，或等于 b的模与a在b方向上的投影a cos的乘积， 已知向量a、b、c和实数 ，则: 数量积的运算律 数量积的性质： （3） 设a，b都是非零向量，则： （1）ab a b=0 （2）当a 与b 同向时，a b = 当a 与b 反向时， | a | | b |， a b =| a | | b | 判断垂直的又一条件 求模的方法特别地: 求角的方法 例题讲解 例1 用向量方法证明三垂线定理：平面 内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线 垂直. P OA l 例2：用向量方法证明直线和平面垂直的 判定定理： l m n g 已知m，n是平面内的两条相交直线， 直线lm，ln，求证：l 小结作业 1.由于空间任意两个向量都可以转化为 共面向量，所以空间向量的数量积运算 与平面向量的数量积运算的理论体系完 全一样. 2.对于空间线线垂直，线面垂直问题可 以转化为向量的数量积为零来处理，同 时，利用向量的数量积还可以计算夹角 和距
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