天津科技大学李伟版高等数学第三章习题解答.doc

习题31（A）1判断下列叙述是否正确，并说明理由：（1）函数的极值与最值是不同的，最值一定是极值，但极值未必是最值；（2）函数的图形在极值点处一定存在着水平的切线；（3）连续函数的零点定理与罗尔定理都可以用来判断函数是否存在零点，二者没有差别；（4）虽然拉格朗日中值公式是一个等式，但将进行放大或缩小就可以用拉格朗日中值公式证明不等式，不过这类不等式中一定要含（或隐含）有某函数的两个值的差答：（1）不正确最值可以在区间端点取得，但是由于在区间端点处不定义极值，因此最值不一定是极值；而极值未必是最值这是显然的 （2）不正确例如在点处取极值，但是曲线在点却没有水平切线 （3）不正确前者是判断是否有零点的，后者是判断是否有零点的 （4）正确一类是明显含有的；另一类是暗含着的2验证函数在区间上满足罗尔定理，并求出定理中的解：显然在闭区间上连续，在开区间内可导，且，于是函数在区间上满足罗尔定理的条件， ，由，有，得，所以定理的结论也成立 3验证函数在区间上满足拉格朗日中值定理，并求出公式中的解：显然在闭区间连续，在开区间内可导，于是函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，由，有，得，所以定理的结论也成立 4对函数、在区间上验证柯西中值定理的正确性，并求出定理中的 解：显然函数、在闭区间上连续，在开区间 内可导，且，在区间内，于是函数、在区间上满足柯西定理的条件，又，由，有，即，由于，得，所以定理的结论也成立5在内证明恒为常数，并验证证明：设，显然在内可导，且 ，由拉格朗日定理的推论，得在内恒为常数，设，用代入，得，所以6不求出函数的导数，说明有几个实根，并指出所在区间解：显然有三个零点，用这三点作两个区间，在闭区间上连续，在开区间内可导，又于是在满足罗尔定理，所以至少有，使得，同理至少有，使得，所以至少有两个实根 又因为是三次多项式，有时二次多项式，于是是二次代数方程，由代数基本定理，得至多有两个实根综上，恰有两个实根，且分别位于区间与内7证明下列不等式：（1） 对任何实数，证明；（2） 当时，证明：（1）当时，显然成立当时，取函数，显然在闭区间上连续，在开间内可导，由拉格朗日定理，有，使得，即，所以 当时，只要将上面的区间换为，不等式依然成立 所以，对任何实数，都有 （2）取函数，当时，函数在闭区间上连续，在开区间内可导，根据拉格朗日定理，有，使得 因为，则，所以8若函数在区间具有二阶导数，且，其中，证明在区间内至少有一点，使得证明：根据已知，函数在区间及上满足罗尔定理，于是有，（其中），所得， 再根据已知及，函数在区间上满足罗尔定理，所以有，所得，即在区间内至少有一点，使得习题31（B）1在2004年北京国际马拉松比赛中，我国运动员以2小时19分26秒的成绩夺得了女子组冠军试用微分中值定理说明她在比赛中至少有两个时刻的速度恰好为18. 157km/h（马拉松比赛距离全长为42.195km）解：设该运动员在时刻时跑了（km），此刻才速度为（km/h），为解决问题的需要，假定有连续导数设起跑时，到达终点时，则，对函数在区间上用拉格朗日定理，有，所得，而 km/h，所以 对在区间及上分别使用连续函数的介值定理（注意 ，则数值18. 157分别介于两个区间端点处函数值之间），于是有，使得，这表明该运动员在比赛中至少有两个时刻的速度恰好为18. 157km/h2若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，证明方程在开区间内至多有一个实根证明：采用反证法，若方程在开区间有两个（或两个以上）不同的实根，即，根据已知函数在上满足罗尔定理，于是有，使得，与在开区间内矛盾，所以方程在开区间内至多有一个实根 （注：本题结论也适用于无穷区间）3证明方程只有一个正根证明：设（），则，根据上题结果，方程在内至多有一个实根 取闭区间，函数在上连续，且，由零点定理，有，使得，从而方程在内至少有一个实根 综上，方程只有一个正根，且位于区间内4若在内恒有，证明证明：（方法1）设函数，则，根据拉格朗日定理的推论恒为常数，设，用代入，得，记，则，所以 （方法2）记，若，则满足；若，对函数以为端点的闭区间上用拉格朗日定理，则有介于与之间，使得，即，所以5若函数在区间可导，且满足，证明.证明：设函数（），则，由，得，根据拉格朗日定理的推论恒为常数，设，用代入，且由，得，所以，即6证明下列不等式（1）当时，证明；（2）对任何实数，证明证明：（1）取函数（）显然函数在区间上满足拉格朗日定理，则有，使得，即，所以 （2）当时，显然 当时，取函数，对在以为端点的闭区间上用拉格朗日定理，则有介于与之间，使得，即，所以 综上，对任何实数，都有7若函数在闭区间，上连续，在开区间（，）内可导，（其中），且在闭区间，上证明证明：对，当时，不等式成立当时，根据已知，函数在以为端点的区间上满足拉格朗日定理，则有介于与之间，使得，即，所以，从而 综上，在闭区间，上恒有8若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，证明在开区间内至少存在一点，使得证明：设函数（），则，再根据已知，函数在区间满足罗尔定理，则有，使得而，于是所以，在开区间内至少存在一点，使得习题32（A）1判断下列叙述是否正确？并说明理由（1）洛必达法则是利用函数的柯西中值定理得到的，因此不能利用洛必达法则直接求数列极限；（2）凡属“”，“”型不定式，都可以用洛必达法则来求其的极限值；（3）型如型的不定式，要想用洛必达法则，需先通过变形比如“”型要变型成为“”，“”型，型要先通过变型，转化为“”型的不定式，然后再化为基本类型.答：（1）正确因为数列是离散型变量，对它是不能求导的，要想对数列的“不定式”极限使用洛必达法则，首先要根据“海涅定理”将数列极限转换为普通函数极限，然后再使用洛必达法则 （2）不正确如（型）、（型）、（型）都不能用洛比达法则求得极限值（3）正确可参见本节3.其他类型的不定式极限的求法，但是“”型通常是直接化为“”，“”型2用洛必达法则求下列极限：（1）； （2）（）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）； （11）； （12）；（13）； （14）；解：（1） （2） （3） （4） （5） (6) （7） （8） （9） （10） （11）设，则，因为，所以， （12）设，则，因为，所以 （13）设，则，因为，所以 （14）根据海涅定理，3验证极限存在，并说明不能用洛必达法则求得解：因为极限不存在，因为此极限不能用洛必达法则求得4验证极限存在，并说明不能用洛必达法则求得 解：因为极限不存在，因为此极限不能用洛必达法则求得习题32（B）1用洛必达法则求下列极限：（1）； （2）（3）； （4）； (5) ； （6）（）解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）令，则原式 （5）令，则，因为，所以 （6）令，则，再令，因为，所以2当时，若是比高阶的无穷小，求常数解：根据已知，有，由分母极限为零，则有分子极限也为零，于是，得，此时，再由分子极限为零，同样得，进而，得，所以时，当时，是比高阶的无穷小2 若函数有二阶导数，且，求极限解：（注：根据题目所给条件，不能保证连续，所以只能用一次洛比达法则，再用二阶导数的分析定义）习题33（A）1判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）只要函数在点有阶导数，就一定能写出该函数的泰勒多项式一个函数的泰勒多项式永远都不会与这个函数恒等，二者相差一个不恒为零的余项；（2）一个函数在某点附近展开带有拉格朗日余项的阶泰勒公式是它的次泰勒多项式加上与该函数的阶导数有关的所谓拉格朗日型的余项；（3）在应用泰勒公式时，一般用带拉格朗日型余项的泰勒公式比较方便答：（1）前者正确，其根据是泰勒多项式的定义；后者不正确当本身是一个次多项式时，有，这时函数的泰勒多项式恒等于这个函数 （2）不正确拉格朗日型的余项与函数的阶导数有关 （3）不正确利用泰勒公式求极限时就要用带有皮亚诺余项的泰勒公式，一般在对余项进行定量分析时使用带拉格朗日型余项的泰勒公式，在对余项进行定性分析时使用带皮亚诺型余项的泰勒公式2写出函数的带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式解：因为，于是，代入到中，得 3按的乘幂形式改写多项式 解：因为，更高阶导数都为零，于是，将其带入到中，得 （其中恒为零）4将函数在点展开为带有佩亚诺型余项的三阶泰勒公式解：因为，则， 于是，将其带入到中，得5写出函数的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式解：因为（）（参见习题2.5（B）3）， 于是，（），将其带入到，得 6将函数按的乘幂展开为带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式解：因为，于是（），将其代入到中，得（介于与之间）习题33（B）1为了修建跨越沙漠的高速公路，测量员测量海拔高度差时，必须考虑地球是一个球体而表面不是水平，从而对测量的结果加以修正（1）如果表示地球的半径，是高速公路的长度证明修正量为 (2)利用泰勒公式证明 （3）当高速公路长100公里时，比较（1）和（2）中两个修正量（地球半径取6370公里）证明：（1）由，有，又在直角三角形中，于是 ，由此得（2）先将展开为4阶麦克劳林公式，为此求得， ， ， 于是 ；当时，取，得，于是 （3）按公式计算，得修正量为，按公式计算，得修正量为， 它们相差大约为2写出函数的带佩亚诺型余项的阶麦克劳林公式解：由，令，得，按规律，由于项的后一项为，所以余项也可以用3写出函数的带皮亚诺型余项的阶麦克劳林公式解： ， 同上一题，余项也可以用 （注意：像2、3题用变量代换写泰勒公式的方法只使用于带有佩亚诺型余项的泰勒公式，不适用带有拉格朗日型余项的泰勒公式，否则得到的余项不再是拉格朗日型余项）4应用三阶泰勒公式计算下列各数的近似值，并估计误差： （1）； （2）解：（1）取函数，展开为三阶麦克劳林公式，有 ， ，现取，误差为，； （2）用的麦克劳林公式，取，得 ，则，误差为5利用泰勒公式求下列极限： （1）； （2）解：（1）原式 （2）原式 6设函数在区间上有二阶连续导数，证明：有使得证明：将函数在点展开为一阶泰勒公式， 有 .（介于与之间）分别用代入上式，得 （）， （）， 上两式相加，得， 由连续，根据习题1-7（B）4，得（），于是，所以，有使得7若函数有二阶导数，且，用泰勒公式证明.证明：由函数可导，及，得，将展开为一阶麦克劳林公式，有（介于与之间），由，得8设函数在区间上二次可微，且，对任何，证明证明：对任何，将函数在点展开为一阶泰勒公式， 有 .（介于与之间）分别用代入上式，得 ， （） （1）， （） （2） （2）-（1），并由条件，有 ，即，所以 习题34（A）1下列叙述是否正确？并按照你的判断说明理由：（1）设函数在区间上连续，在内可导，那么在区间上单调增加（减少）的充分必要条件是对任意的，（）；（2）函数的极大值点与极小值点都可能不是唯一的，并且在其驻点与不可导点处均取得极值；（3）判定极值存在的第一充分条件是根据驻点两侧导数的符号来确定该驻点是否为极值点，第二充分条件是根据函数在其驻点处二阶导数的符号来判定该驻点是否为极值点；（4）在区间上连续的函数，其最大值点或最小值点一定是它的极值点.答：（1）不正确如在上单调增加，而 （2）前者正确，后者不正确驻点与不可导点是取得极值必要条件不是充分条件，如函数有驻点，而在点不取极值；又如函数有不可导点，而在点也不取极值 （3）前者不正确，后者正确第一充分条件对连续函数的不可导点也适用 （4）不正确函数的最大（小）值点可以是闭区间端点，这时的最值点就不是极值点2证明函数在上单调减少解：在开区间内，且等号只在点成立，所以在开区间内单调减少，又因为函数在区间的左、右端点处分别右连续、左连续，所以在上单调减少3求下列函数的单调区间和极值：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）解：（1）定义域为，由，得驻点，函数没有不可导点 单增区间为：，单减区间为：， 极大值为：，极小值为： （2）定义域为，由，得驻点，在定义域内函数没有不可导点单增区间为：，单减区间为：， 极大值为：，极小值为： （3）定义域为，由，得驻点，不可导点 单增区间为：，单减区间为：， 无极大值，极小值为：（4）定义域为，由，得驻点，在定义域内函数没有不可导点 单增区间为：，单减区间为：，无极大值，极小值为：（5）定义域为，由，得驻点，在定义域内函数没有不可导点单增区间为：，单减区间为：， 极大值为：，无极小值（6）定义域为，在定义域内，且没有不可导点单增区间为：，单减区间为：， 既无极大值，也无极小值4求下列函数在指定区间的最大值和最小值： （1），； （2），解：（1），由，得（都不在内），比较数值，得在闭区间上最大值为，最小值为（2）因为在上，所以函数在上单调增加，于是最大值为，最小值为5求函数在区间内的最值解：，由，在区间内得唯一驻点，又 ，所以是极小值点，也是最小值点，所以函数在区间内最小值为又开区间的区间端点处函数无定义，所以无最大值6求函数在区间内的最值解：，由，在区间内得唯一驻点，而在内，单调增加；在内，单调减少，所以是函数在区间内的唯一极大值点，同时也是最大值点，所以函数在区间内的最大值为，无最小值7借助现有的一面墙，围建一个长方形小院，求解下列问题：(1) 要使小院面积为32(m2)，如何设计最省材料？(2) 如果建筑材料只够砌16(m)长的墙，如何设计才能使小院面积最大？解：如图，设小院的长为（m），宽为（m），则所砌围墙的长度为（m），小院面积为（m2）（1）由小院面积为32(m2)，有，所以 目标函数为（），由，得唯一驻点，此时，由实际意义有最小值，所以当长为8m、宽为4m时最省材料（2）由，有，所以目标函数为（）， ，得唯一驻点，此时，由实际意义有最大值，所以当长为8m、宽为4m时小院面积最大8一个周长为5的窗户如图所示，问和为多少时窗户的采光最好？ 解：设窗户的面积为，则目标函数为 ，而由，得，目标函数化为 （）， 由，得唯一驻点，此时，由实际意义有最大值，所以当，窗户的采光最好9某工厂在一个月内生产某种产品（吨）时，总成本为（万元），获得的收益为（万元），问一个月内生产该种产品多少吨时所获得的利润最大？最大利润是多少？解：设当产量为时，该厂的利润为，则（），由，得唯一驻点，又，于是 是极大值点，也是最大值点，所以当产量为250吨时利润最大，最大利润（万元）10在所有面积为的长方形中，求对角线最短者解：设长方形的边长分别为，则，设对角线长为，为方便用作目标函数，则（），由，得唯一驻点（舍去），由实际意义有最小值，于是当时，此时，最小，所以当两个边长都为（即正方形）时，对角线最短11证明下列不等式：（1）当时，；（2）当时，； （3）当时，证明：（1）设函数（），则，当时，由于函数在点连续，从而当时，单调增加，于是当时，有，所以当时， （2）设函数（），则，当时，由于函数在点连续，从而当时，单调增加，于是当时，有，所以当时， （3）设函数（），则，当时， 单调增加，于是， 进而单调增加，于是，所以当时，12证明方程在内有且只有一个实根证明：设函数（），有习题2知单调减少，于是曲线与轴至多有一个交点，从而方程在内至多有一个实根 又函数在闭区间上连续，并且，由零点定理方程在内至少有一个实根 （或者，由是方程的一个实根，所以方程在内至少有一个实根） 综上，方程在内有且只有一个实根习题34（B）1货车以速度行驶200，按交通法规限制假使汽油的价格是 元L，而汽车耗油的速率是，司机的工资是20元，试问最经济的车速是多少？这次行车的总费用是多少？解：设行车的费用为元，由题意知行车的时间为，则目标函数为 （）， 由，得唯一驻点（舍去），又，于是是唯一的极小值点，也是最小值点，所以最经济的行车速度为km/h，行车的总费用是253元 2为何值时，函数在处有极值？求出此极值并且说明该极值是极大值还是极小值解：，由函数在处有极值，有 ，得此时，又因为，所以是极大值3设函数在都取极值，求与的值，并说明、是极大值还是极小值解：，由函数在都取极值，有即解得；此时，因为，所以是极小值，因为，所以是极大值4证明函数在区间内单调增加证明：，记，则 ，当时，在区间内函数单调增加， 从而，所以函数在区间内单调增加5若函数在区间上有二阶导数，且，证明函数在区间内单调增加证明：，记，则，在内，又在点右连续，从而在区间内单调递增，则当时，进而，所以函数在区间内单调增加6求函数在区间上的最大值，并求极限解：，由，在区间 内得驻点由，得函数在区间上的最大值为 7在由直线，与抛物线围成的曲边三角形的曲边上求一点，使该点的切线与两直角边围成的三角形面积最大 解：设所求点为，该点的切线斜率为， 切线方程为，令，得，令，得，于是的面积 （），由，得（舍去），因为，所以面积最大值为，从而点的横坐标为，纵坐标为，所求点为8求直线与抛物线的最近距离解：设 是抛物线上任一点，取该点到给定直线距离的平方为目标函数，由，得唯一驻点，由实际意义有最小值，于是当时，取最小值，所以抛物线与直线的最近距离为9求椭圆上纵坐标的最大值和最小值解：方程两边同时对求导，有，令，有，代入到方程之中，有，得驻点，而，由于椭圆是有界闭曲线，其纵坐标一定有最小值与最大值，所以椭圆上纵坐标的最大值，最小值10证明下列不等式：（1） 当时，；（2） 当时， ；（3） 当时，证明：（1）设（）， ， 当时，单调递增，由在点连续，于是当时，进而得单调递增，同样，所以当时， （2）设函数（）， 则，由，得唯一驻点， 又，由于，有，于是是函数的极大值点，也是最大值点，所以当时，恒有，即（3）设函数（），则，记，则，当时，于是函数单调增加，由在点连续，所以当时，有，从而，于是函数单调增加当时，有，即，所以11讨论方程的实根个数解：设函数（），则在区间内连续且可导，由，得驻点，它将定义域分为两个区间，在区间内：，函数单调递增，于是方程在内至多有一个实根，又，根据极限的保号性，在点的右侧附近，取一点使得，根据连续函数的零点定理，方程在内至少有一个实根，从而在内至少有一个实根，所以方程内有且仅有一个实根 同理可证方程在区间内有且仅有一个实根 所以方程一共有两个实根12证明方程（其中，）在区间内有且仅有一个实根证明：因为方程与方程 在内共同的实根，所以只需证明方程在内有且仅有一个实根为此设函数（）， 则 ，单调递减，于是方程在内至多有一个实根，由，由广义的连续函数的零点定理，得方程在内至少有一个实根，所以方程在内有且仅有一个实根，进而方程在区间内有且仅有一个实根 （注：广义零点定理为：若函数在开区间内连续，又与存在且异号，则函数在内至少有一个零点（参见总习题一，20）对无穷区间有类似结论）习题35（A）1下列叙述是否正确？并按照你的判断说明理由：（1）根据定理5.1，只有对二阶可导的函数的曲线才讨论凹凸性；（2）曲线的拐点是的零点；（3）如果，则直线就一定是曲线的铅直渐近线；（4）如果，则直线就一定是曲线的水平渐近线答：（1）不正确定理5.1只是真对具有二阶导数的函数的曲线讨论凹凸性的，而在曲线的凹凸性的定义中并不要求函数具有二阶导数，如在内是凹曲线，但是在点不可导，当然也没有二阶导数 （2）不正确拐点要在曲线上，它是一个二元有序数组，而的零点只有横坐标；在曲线的拐点处函数可能没有二阶导数，如在点取得拐点，但是不存在（3）正确铅直渐近线的定义（也可以是，或）（4）正确水平渐近线的定义（也可以是，或）2证明曲线在区间和区间内都是凸的证明：， 在内，而在点函数左连续，所以曲线在区间内是凸的同理可得曲线在区间内也是凸的 （注意：尽管曲线在及内都是凸的，且函数在点连续，但是曲线在内却不是凸的）3求曲线的拐点解：定义域为，由，得，在点不存在在内，在内，在内，又，所以拐点为4求下列曲线的凹凸区间及拐点：（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）定义域为，由，得，且二阶导数没有不存在点 凸区间为：， 凹区间为：，拐点是：（2）定义域为，在定义域内，且没有不存在点 凸区间为：， 凹区间为：，无拐点（3）定义域为，由，得，且二阶导数没有不存在点 凸区间为：，凹区间为：，拐点是：（4）定义域为，由，得，且二阶导数没有不存在点 凸区间为：，凹区间为：，拐点是：5问为何值时，点是曲线的拐点？解：，由是曲线的拐点，则有，即 解得，所以当，时，点是曲线的拐点6求下列曲线的铅直渐近线与水平渐近线： （1）； （2）解：（1）函数在点不连续，且，得铅直渐近线为，由，得水平渐近线为（2）函数在点不连续，且，得铅直渐近线为，由，得水平渐近线为7作下列函数的图形：（1）； （2）解：（1）定义域，奇函数. 在定义域内一、二阶处处存在，且，.由，得；由得.由=，得水平渐近线，无铅直渐近线和斜渐近线.当时，函数的单调性、极值，曲线的凸凹性、拐点由下表给出.（2）定义域为，奇函数. 在定义域内一、二阶处处存在，且，.，函数无驻点，由，得. 由=，得水平渐近线，由=，得铅直渐近线，无斜渐近线. 函数的单调性、极值，曲线的凸凹性、拐点由下表给出.8当时，证明不等式证明：考虑曲线，因为，所以在上是凹曲线，根据凹曲线的定义，对，当时，有，所以习题35（B）1试确定的值，使曲线在点处有水平切线，且为曲线的拐点解：，根据题目的条件，有、 ，于是满足四元线性方程组 解得2当时，证明不等式证明：考虑曲线（），因为，所以在区间上是凹曲线，根据凹曲线的定义，对，当时，有，即，所以当，且时，恒有3设函数在的某一个邻域内有三阶连续导数，如果，试问点是否为曲线的拐点？为什么？答：点是曲线的拐点事实上，由，不妨设，根据连续，则存在的一个邻域，在该领域内，于是单调增加，而，进而在内，在内，所以点是曲线的拐点4试确定值，使曲线在拐点处的法线通过原点解：，由，得，显然在点两侧附近异号，于是曲线的拐点为 又，则拐点处的法线斜率为，法线方程为，由法线过原点，有，即，得5作函数的图形，由此研究方程的实根个数，并指出实根所在区间解：定义域，在定义域内一、二阶处处存在，且，由，得驻点，的点不存在，无拐点由，得水平渐近线，由，得铅直渐近线，且函数的单调性、极值，曲线的凸凹性、拐点由下表给出.显然不是方程的根，当时，方程与方程有相同的根， 而方程的根就是曲线与直线交点的横坐标，所以通过函数的图形可以得到：当时，有一个实根，位于内； 当时，无实根； 当时，有一个实根； 当时，有两个实根，分别位于和内 习题36（A）1判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）若函数在区间上有二阶导数，那么曲线在区间上是光滑曲线；（2）导数的符号决定曲线是上升还是下降，的符号决定了曲线弯曲的方向，而曲线弯曲的程度由的大小来决定；（3）只要一条曲线在某点的曲率不为零也不为无穷大，在该点它就一定有曲率圆与曲率半径，而且该曲线与其曲率圆在该点附近有相同的凹凸性与相同的曲率半径答：（1）正确将直角坐标系下的曲线方程看作参数方程根据题目所给条件，连续且同时不为零，根据光滑曲线定义，曲线在区间上是光滑曲线 （2）前两句正确，这就是单调性、凸凹性的判定定理；后一句不正确，曲线的弯曲程度是由与的大小共同决定的，见于曲率计算公式 （3）正确根据曲率圆、曲率半径的定义可得2求下列曲线在任意点的曲率：（1）； （2）解：（1），代入到之中，得 （2），代入到之中，得3求抛物线在顶点处的曲率及曲率半径解：将改写为，抛物线顶点为，将其带入到之中，得4求双曲线在点处的曲率及曲率半径解：，将其带入到之中，得习题36（B）1飞机沿抛物线（轴铅直向上，单位：m）作俯冲飞行，在原点处飞机的速度为m/s，飞行员的体重kg求飞机俯冲到原点处时座椅对飞行员的反作用力解：，抛物线在原点处曲率，曲率半径此时的向心力N座椅对飞行员的反作用力的大小为1246N，方向向上2曲线，在任意点的曲率（其中）解：因为，所以， ，代入到之中，得3余弦曲线上哪一点处的曲率半径最小？并求出该点的曲率半径解：，曲率半径 （），由于是偶函数，只需要求在区间上的 最小值，在内，于是单调递增，在区间内的最小值为，在区间内，于是单调递减，在区间内无极值综上，在区间内最小值在取得，此时，所以所求点为，对应的曲率半径为 4设工件内表面的截线是椭圆，现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？解：将椭圆改写为参数方程（），当，时，曲率半径，显然的最小值为当时，对应椭圆上点，为求曲率半径，方程改写为 ，该点处的曲率半径为 同理，当时，对应椭圆上点处的曲率半径为为使磨削效果最好，砂轮半径应当选用曲率半径的最小值最好，所以最好，即选用直径为1的砂轮才比较合适5求曲线在点处的曲率圆解：，在处的曲率半径为，在处的法线方程为，又因为曲线在区间内是凸曲线，所以曲率中心是，曲线在点处的曲率圆为总习题三1填空题： （1）若次多项式有个不同的零点，则有 个零点；（2）设，且，则 ；（3）函数在区间内的最大值为 ；（4）曲线有 个拐点；（5）若连续函数的导函数图形如下，则有 个极大值， 个极小值解：（1）由次多项式的个不同零点构成个区间，对函数应用罗尔定理，得到次多项式至少有不同的零点，再用这些点作个区间，对函数应用罗尔定理，得至少有不同的零点，而是次多项式，它至多个零点，所以有恰有个零点，填： （2），填： （3），由，在得唯一驻点，在内；在内，于是是极大值点，也是最大值点，所以函数在区间内的最大值为，填： （4），由，得，而在这两点左、右附近异号，所以曲线有两个拐点，填： （5）从图中可以看到有六个零点与一个不存在点，这是函数所有可能取得极值的点在点左侧附近，右侧附近，所以是极小值，同样、也都是极小值；在点左侧附近，右侧附近，所以是极大值，同样、也都是极大值，而在点两侧附近不变号，所以不是极值，于是有三个极大值，三个极小值，填：2单项选择题： （1）若在闭区间上有二阶导数，且，则下式成立的是（ ）； （A） （B）（C） （D）（2）设函数，则点是的（ ）；(A) 驻点 (B) 间断点 (C) 极小值点 (D) 极大值点（3）若定义在内的函数满足，且在内，则在内（ ）； （A）， （B），（C）， （D），（4）设函数有二阶连续导数，且，则（ ）； （A）是函数的一个极大值（B）是函数的一个极小值（C）点是曲线的一个拐点（D）不是函数的极值，且点也不是曲线的拐点（5）若函数的图形如右图所示，则其导函数的大致图形是（ ） 解：（1）选B，事实上：对函数在区间上使用拉格朗日中值定理，得（其中），由，有单调增加，所以，即 （2）选D，事实上：，可见是函数的不可导点，又当时，；当时，所以点是函数的极大值点 （建议此题从几何直观考虑，如右上图） （3）选C，事实上：由条件知是奇函数，从而的图形关于坐标原点对称，又由条件在内，得，在内是上升的凹曲线，则在内是上升的凸曲线，所以， （注：本题也可以用是偶函数，是奇函数来考虑问题） （4）选B，事实上：由，得是函数的驻点，再由，根据极限的保号性，在的去心邻域内，从而，单调增加，又由，在左侧附近，右侧附近，所以是一个极小值，再由，可见点不是曲线的拐点，所以C是不对的 （5）选D事实上：如图可见，函数在区间、内单调增加，则在这三个区间内导函数，而函数在区间内单调减少，则在这个区间内导函数，又在、处取得极值，则、，满足这样性质的的图形只有D3若方程有一个正实根，证明方程至少有一个小于的正根证明：设函数，由方程有一个正实根，即，显然，而函数在闭区间上连续，在开区间内可导，根据用罗尔定理有，使得，即，这表明是的一个小于的正根，所以方程至少有一个小于的正根4证明方程在开区间内至少有一个实根证明：设函数，显然在闭区间连续，在开区间内可导，且，根据用罗尔定理有，使得，即，这表明是方程在开区间内的一个实根，所以方程在开区间内至少有一个实根5设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，对任何实数，证明在开区间内至少有一点，使得证明：设函数，根据题目条件得在闭区间上连续，在开区间内可导，且，根据罗尔定理，有，使得，而，所以，但是，所以只能，即在开区间内至少有一点，使得 （注：对于证明至少有一点，使得成立的题型，可以构造函数，试图使用罗尔定理）6证明：（1）在内；（2）在内证明：设函数，在区间及内可导，且，（1）在区间内恒为常数，设，用带入，得，所以在内（2）在内恒为常数，设，即，令，对上式取极限，得，所以在内7若函数在区间内可导，且，证明证明：取，作一个闭区间，则函数在闭区间连续，在开区间内可导，又拉格朗日定理，有，使得，令对上式取极限，有，左式，右式，所以8求下列极限： （1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 （5）令，则原式（6）令，则原式 （7）原式 （8）设，则，于是，所以， （9）（方法1）由当时，有原式 （方法2）原式 （10）（方法1）令，则原式 （方法2）原式9已知时，若函数与为等价无穷小，求、的值解：由已知得，即，而左式，要使极限存在，必须，进一步，左式，同样要使极限存在，必须，进一步，左式，要使极限存在，必须，此时，左式，得，所以，时，与为等价无穷小（）10已知极限，试运用泰勒公式求极限的方法求的值 解：左式 ， 要使上式极限存在并且等于零，必须 得11设函数在区间内具有二阶导数，且满足，（ 均为正值），对任何，证明证明：对任何，将函数在点展开为一阶泰勒公式， 有 .（介于与之间）令，则，记，所以. 将看作变量，上述不等式