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2.5平面向量应用举例 2.5.1平面几何的向量方法 平面几何中的向量方法 向量概念和运算，都有明确的物理背 景和几何背景。当向量与平面坐标系结合 以后，向量的运算就可以完全转化为“代 数”的计算，这就为我们解决物理问题和 几何研究带来极大的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具 有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质 ，如平移、全等、相似、长度、夹角都可 以由向量的线性运算及数量积表示出来， 因此，利用向量方法可以解决平面几何中 的一些问题。 问题：平行四边形是表示向量加法与减法 的几何模型。如图，你能发现平行四边形 对角线的长度与两条邻边长度之间的关系 吗？ AB CD 猜想： 1.1.长方形对角线的长度长方形对角线的长度 与两条邻边长度之间有与两条邻边长度之间有 何关系？何关系？ 2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？ 例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 A B DC已知：平行四边形ABCD。 求证： 解：设 ，则 分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 其它线段对应向 量用它们表示。 你能总结一下利用向量法解决平面几何问题 的基本思路吗？ （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 用向量方法解决平面几何问题的“ 三步曲”： 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形 例2 如图， ABCD中，点E、F分别 是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别 与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？ AB CD E F R T 猜想： AR=RT=TC 演示 解：设 则 由于 与 共线，故设 又因为 共线， 所以设 因为 所以 AB CD E F R T 线， 故AT=RT=TC AB CD E F R T 练习、证明直径所对的圆周角 是直角 A B C O 如图所示，已知O，AB为直径，C 为O上任意一点。求证ACB=90 分析：要证ACB=90，只须证向 量 ，即 。 解：设 则 ， 由此可得： 即 ，ACB=90 思考：能否用向量 坐标形式证明？ （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）
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