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概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 7 均匀分布指数分布随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的求乘客候车时间不超过3分钟的概率解：设随机变量表示“乘客的候车时间”，则服从上的均匀分布，其密度函数为于是有二、已知某种电子元件的使用寿命(单位:h)服从指数分布，概率密度为任取个这种电子元件，求至少有个能使用1000h以上的概率解：设表示“至少有个电子元件能使用1000h以上”；分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h以上”则（另解）设表示“至少有个电子元件能使用1000h以上”则从而有，进一步有三、(1) 设随机变量服从指数分布证明：对于任意非负实数及，有 这个性质叫做指数分布的无记忆性(2) 设电视机的使用年数服从指数分布某人买了一台旧电视机，求还能使用年以上的概率解：（）因为，所以，有，其中为的分布函数设，因为及都是非负实数，所以，从而根据条件概率公式，我们有另一方面，我们有综上所述，故有（）由题设，知的概率密度为设某人购买的这台旧电视机已经使用了年，则根据上述证明的（）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为答：该电视机还能使用5年以上的概率约为四、 设随机变量服从二项分布，求下列随机变量函数的概率分布： （1）；（2）解：的分布律为0123 （1）的分布律为1（2）的分布律为0110即01五、设随机变量的概率密度为求随机变量函数的概率密度解：因为 所以随机变量函数的概率密度为，即 二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次设随机变量表示第一次出现的点数，随机变量表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量的联合概率分布及的边缘概率分布解：二维随机变量的联合概率分布为的边缘概率分布为二、设二维随机变量（，）的联合分布函数求：（1）系数A、B及C；（2）（，）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度解：（1）由，得 解得，（2）因为，所以（，）的联合概率密度为（3）及的边缘分布函数分别为 及的边缘概率密度分别为三、设的联合概率密度为求：（1）系数；（2）的联合分布函数；（3）及的边缘概率密度；（4）落在区域R：内的概率解：（1）由，有，解得 （2）的联合分布函数为 （3）及的边缘概率密度分别为 （4）四、设二维随机变量在抛物线与直线所围成的区域上服从均匀分布求：(1) 的联合概率密度；(2) 概率解：(1) 设的联合概率密度为则由解得故有(2) 13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、 设随机变量服从正态分布，求（1）；（2）解：(1) (2) 二、 已知某种机械零件的直径（mm）服从正态分布规定直径在（mm）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率解：设表示这种机械零件的不合格品率，则而 故三、测量到某一目标的距离时发生的误差(m)具有概率密度求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过m的概率解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为 因为，所以由事件的相互独立性，有 于是有四、设随机变量，求随机变量函数的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）解：由题设，知的概率密度为从而可得随机变量的分布函数为当时，有；此时亦有当时，有此时亦有从而可得随机变量的概率密度为五、设随机变量与独立，求：(1) 随机变量函数的数学期望与方差，其中及为常数；(2) 随机变量函数的数学期望与方差解：由题设，有；从而有(1)；(2)；四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求： （1） 任一时刻有70至86台车床在工作的概率； （2） 任一时刻有不少于80台车床在工作的概率解：设表示“任一时刻正在工作的车床数”，则 （1） （2）五、在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得1000元问： （1） 保险公司亏本的可能性是多大？ （