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第三节 泰勒级数 二、泰勒展开定理 三、将函数展开成泰勒级数 一、问题的引入 四、典型例题 五、小结与思考 1 一、问题的引入 问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？ . 内任意点 如图: . K . 2 由柯西积分公式 , 有 其中 K 取正方向. 则 3 4 由高阶导数公式, 上式又可写成 其中 可知在K内 5 令 则在K上连续, 6 即存在一个正常数M, 7 在内成立, 从而在K内 圆周的半径可以任意增大,只要内成立.在 的泰勒展开式,在 泰勒级数 8 如果到的边界上各点的最短距离为 那末在的泰勒展开式在 内成立 因为凡满足的必能使 由上讨论得重要定理泰勒展开定理 在的泰勒级数的收敛半径至少等于 ，但 9 二、泰勒展开定理 其中 泰勒级数 泰勒展开式 定理设在区域内解析,为 内的一 为到的边界上各点的最短距离, 那末点, 时,成立,当 10 说明: 1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数 时弱得多; (想一想, 为什么?) 11 因为 解析，可以保证无限次可导 即各阶导数连续. 所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就 要比实变函数广的多. 注意 问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级 数，展开式是否唯一？ 12 那末 即 因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果就是 泰勒级数, 因而是唯一的. 13 三、将函数展开成泰勒级数 常用方法: 直接法和间接法. 1.直接法: 由泰勒展开定理计算系数 14 例如， 故有 15 仿照上例 , 16 2. 间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析 函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分 等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展 开式. 间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直 接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 . 17 例如， 18 附: 常见函数的泰勒展开式 19 20 例1 解 四、典型例题 21 上式两边逐项求导, 22 例2 分析 如图, 23 即 将展开式两端沿 C 逐项积分, 得 解 24 例3 解 25 例4 解 26 五、小结与思考 通过本课的学习, 应理解泰勒展开定理,熟记 五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成 泰勒级数的方法, 能比较熟练的把一些解析函数 展开成泰勒级数. 27 奇、偶函数的泰勒级数有什么特点? 思考题 28 奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项, 偶函数 的泰勒级数只含 z 的偶次幂项. 思考题答案 放映结束，按Esc退出. 29 泰勒资料 Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, England Died: 29
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