复合函数与初等函数的导数.ppt

2.3复合函数与初等函数的导数 一、复合函数的微分法 定理 1 此法则又称为复合函数求导的链式法则 可导，则 设 或复合函数的导数为 推论 设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均 可导，则复合函数 y = f ( (x) 也可导，且 说明： 1、利用复合函数的求导法则，关键是弄清复合 函数的复合关系即由哪些基本初等函数或简单函 数复合而成。 2、熟练地掌握了复合函数的分解及链式法则后 ，可以不写出中间变量，采用逐层求导的方式计 算复合函数的导数。 例 1 设 y = (2x + 1)5，求 y . 解 把 2x + 1 看成中间变量 u， y = u5，u = 2x + 1 复合而成， 所以 将 y = (2x + 1)5 看成是 由于 例 2 设 y = sin2 x，求 y . 解 这个函数可以看成是 y = sin x sin x, 可利 用乘法的导数公式， 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成. 而 所以 这里， 我们用复合函数求导法. 复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必写出. 求 y . 解 将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中. 这样可以直接写出下式 例 3 例 4求 y . 解 这个复合函数有三个复合步骤 把这些中间变量都记在脑子中 解 先用除法的导数公式，遇到复合时，再 用复合函数求导法则. 例 5,求 y . 例 6 设 y = sin(xln x)，求 y . 解 先用复合函数求导公式， 再用乘法公式 y = cos(xln x) (xln x) = cos(xln x) (x (ln x) + x ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) . 例 7 解 先用复合函数求导公式， 再用加法求导公式， 然后又会遇到复合函数 的求导. 二、反函数的导数 如果函数x(y)在某区间Iy内单调、可导且 (y)0， 那么它的反函数yf(x)在对应区间Ix内也可导，并且 简要证明： 因为yf(x)连续，所发当Dx0时，Dy0。 例1求(arcsin x)及(arccos x)。 如果函数x(y)在某区间Iy内单调、可导且 (y)0， 那么它的反函数yf(x)在对应区间Ix内也可导，并且 解：因为yarcsin x是xsin y的反函数，所以 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 例2求(arctan x)及(arccot x)。 如果函数x(y)在某区间Iy内单调、可导且 (y)0， 那么它的反函数yf(x)在对应区间Ix内也可导，并且 解：因为yarctan x是xtan y的反函数，所以 例3 解 特别地当时有 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以 例 4 设 y = etan x，求 y . 例 5 设 f (x) = arcsin(x2) ，求 f (x). 解 例 6求 y . 解 三、参数方程导数 例如 消去参数 t 问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导? 设x(t) 具有反函数 t1(x)，且t1(x)与y(t)构 成复合函数y1(x) 。若x(t)和y(t)都可导，则 例7 四、导数的基本公式 (1) (C)0， (2) (xm)m xm1， (3) (sin x)cos x， (4) (cos x)sin x， (5) (tan x)sec2x， (6) (cot x)csc2x， (7) (sec x)sec x tan x， (8) (csc x)csc x cot x， (9) (ax)ax ln a ， (10) (ex)ex， ， 练习题2.3 1、（2）（5）（8）（14）（20） 2、（2）（6）（10） 3、（3） 作业：P36 2.4 隐函数求导法 一、隐函数的求导 形如 ysin x ，yln xe x 的函数都是显函数。 显函数与隐函数： 隐函数 隐函数的显化 我们所遇到的函数大都是一个变量明显用另一个 变量表示的形式 -y = f(x),这种形式称为显函数. 定义: 隐函数的显化 问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导? 对于这样的函数 例如 , 数是由方程形式给出的. 但这个函 对于 隐函数的求导法则 隐函数一般可用F(x,y)=0表示.现在的问题是通过 方程F(x,y)=0确定了y是x的函数，如何来求 y的导数. 容易看出：“先将形式隐函数显化，然后再求导”不是 一个好的办法，因为将隐函数显化，即将其变成显函 数形式一般是非常困难的，甚至是不可能的. 对于隐 函数求导，可以采用这样的方法：首先在等式两边对 x求导，遇到 y 时将其认作中间变量，利用复合函数 的求导法则，得到含 的方程，解出即可. 例1求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数。 解：方程中每一项对x求导得 (e y)(xy)(e)(0)， 即 e y yyxy0， 解：把方程两边分别对x求导数得 因为当x0时，从原方程得y0，所以 解：把椭圆方程的两边分别对x求导，得 所求的切线方程为 解：方程两边对x求导，得 上式两边再对x求导，得 二、对数求导法 在求导运算中，常会遇到下列两类函数 的求导问题，一类是幂指函数，即形如 的函数，还有一类是一系列函数 的乘、除、乘方、开方所构成的函数. 所谓对数求导法，就是在 y=f(x) 的两 边分别取对数，然后用隐函数求导法求导 的方法. 观察函数 方法: 先在方程两边取对数，将连乘积、商函 数或幂指函数简化为和差函数，然后利用隐 函数的求导方法求出导数. 适用范围: 于是 例5求yx sin x (x0)的导数。 解：两边取对数，得ln ysin x l