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基本初等函数的导数公 式及导数的运算法则 基本初等函数的导数公式 例1 假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%, 物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系 p(t) = p0(1+5%)t, 其中 为t=0时的物价.假定某种商品的 =1,那么在第 10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确 到0.01)? 解: p(t)=1.05tln1.05, p(10)=1.0510ln1.050.08(元/年). 因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨. 思考 如果上式中某中商品的p0=5,那么在第10个年 头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少? 当p0=5时,p(t)=51.05t 求p关于t导数可以看成求函数 f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数. 如何求? 导数运算法则 例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算 法则,求函数 y=x3-2x+3的导数. 解:y=(x3-2x+3)(x3)(2x)(3) 3x22, 所以，函数y=x3-2x+3的导数是 y=3x2-2. 堂上练习 求下列函数的导数： 例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度 的提高,所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯 净度为x%时所需费用(单位:元)为 求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率. (1) 90%; (2) 98%. 所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨. 所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率是1321元/吨. 解： 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数. 如何求函数 y=ln(x+2)的导数呢? 令 u=x+2 (x-2),则y=lnu. y=ln(x+2)就由 y=lnu 和 u=x+2(x-2)复合得到. y与u的关系记作 y=f (u),u与x的关系记作u=g(x) y=f(u)=f(g(x)=ln(x+2). 许多函数都可看成是同两个函数经过“复合”得到 对于两个函数y=f (u)和u=g(x)如果通过变量u,y可以表 示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g(x)的 复合函数,记作y=f (g(x) 且 yx=yuux y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 y=(2x+3)2y=u2u=2x+3复合 y=sin(2x+5)y=sin uu=2x+5复合 例4求下列函数的导数: 解:(1)函数 y=(2x+3)2 可以看作函数 y=u2 和 u=2x+3复合函数.根据复合函数求导法则有 (2)函数 y=e-0.05x+1 可以 看作函数 y=eu 和u= -0.05x+1的复合函数.根 据复合函数求导法则有 (3)函数 y=sin(x+) 可 以看作函数
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