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生物医学工程与医学影像学院 电子学与电子工程学教研室 第六章第六章 连续时间信号与系统连续时间信号与系统 的复频域分析的复频域分析 Signals and SystemsSignals and Systems 第第 2 2 页页 系统响应频域分析小结系统响应频域分析小结 优点：求解系统的零状态响应时，可以直观地体现信号通 过系统后信号频谱的改变，解释激励与响应时域波形的差异 ，物理概念清楚。 不足：1）只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应 仍需按时域方法求解。 2）若激励信号不存在傅里叶变换，则无法利用频域 分析法。 3）频域分析法中，傅立叶反变换常较复杂。 解决方法：采用拉普拉斯变换 第第 3 3 页页 连续时间信号与系统的复频域分析连续时间信号与系统的复频域分析 连续时间信号的复频域分析连续时间信号的复频域分析 连续时间连续时间LTILTI系统的复频域分析系统的复频域分析 连续时间系统函数与系统特性连续时间系统函数与系统特性 连续时间系统的模拟连续时间系统的模拟 第第 4 4 页页 连续时间信号的复频域分析连续时间信号的复频域分析 从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换及其存在的条件单边拉普拉斯变换及其存在的条件 常用信号的拉普拉斯变换常用信号的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 单边拉普拉斯变换的性质单边拉普拉斯变换的性质 单边拉普拉斯变换的反变换单边拉普拉斯变换的反变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 x(t) = et u(t) 0的傅里叶变换？ 将将 x x( (t t) ) 乘以衰减因子乘以衰减因子e e - - t t 不存在! 若 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 推广到一般情况 令s= +j 定义： 对x(t)e- t求傅里叶反变换可推出 拉普拉斯正变换 拉普拉斯反变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉普拉斯变换拉普拉斯变换符号表示符号表示及及物理含义物理含义 符号表示：符号表示： 物理意义：物理意义： 信号信号x x( (t t) )可分解成复指数可分解成复指数e e st st 的线性组合的线性组合 X(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。 s是复数称为复频率，X(s)称复频谱。 二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件 关于积分下限的说明： 积分下限定义为零的左极限，目的在于分析 和计算时可以直接利用起始给定的0-状态。 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换 二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换存在的条件 对任意信号x(t) ，若满足上式，则 x(t)应满足 ( 0 ) 充要条件为：充要条件为： 二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换存在的条件 0称收敛条件 收 敛 区 j 0 0称绝对收敛坐标 S平面 右半平面 左半平面 例例1 1 计算下列信号拉普拉斯变换拉普拉斯变换的收敛域。 分析：分析：求收敛域即找出满足 的取值范围。 收敛域为全s平面 不存在 三、常用信号的拉普拉斯变换三、常用信号的拉普拉斯变换 1.1. 阶跃函数阶跃函数 u u( (t t) ) 三、常用信号的拉普拉斯变换三、常用信号的拉普拉斯变换 2.2. 三、常用信号的拉普拉斯变换三、常用信号的拉普拉斯变换 3.3. 指数型函数指数型函数 e e t t u u( (t t) ) 同理： 三、常用信号的拉普拉斯变换三、常用信号的拉普拉斯变换 4. 4. 正弦信号正弦信号 三、常用信号的拉普拉斯变换三、常用信号的拉普拉斯变换 4.4. t t 的正幂函数的正幂函数 t t n n ，n n为正整数为正整数 根据以上推理,可得 四、拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系四、拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 1）当收敛域包含j 轴时，拉普拉斯变换和傅里 叶变换均存在。 2）当收敛域不包含j 轴时，拉普拉斯变换存在 而傅里叶变换均不存在。 3）当收敛域的收敛边界位于j 轴时，拉普拉斯 变换和傅里叶变换均存在。 例2 计算下列信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换。 解： 时域信号 傅里叶变换 拉普拉斯变换 不存在 例3 由X(s) 求 X( j ) 解：解： 1) 收敛域-4包含j轴 2) 收敛域的收敛边界位于j轴 五、单边拉普拉斯变换的性质五、单边拉普拉斯变换的性质 1 1. . 线性特性线性特性 若 则 五、单边拉普拉斯变换的性质五、单边拉普拉斯变换的性质 2 2. . 展缩特性展缩特性 若 则 五、单边拉普拉斯变换的性质五、单边拉普拉斯变换的性质 3 3. . 时移特性时移特性 若若 则则 分析：分析：周期为T的单边周期信号x(t)可以表示为第一个周 期信号x1(t)及其时移x1(t-kT)的线性组合，即 若计算出x1(t)的Laplace变换X1(s)，利用Laplace变换的时时 移特性移特性和线性特性线性特性，即可求得单边周期信号周期信号的Laplace变换为 Re(s) 0 x1( t) 例例4 4 试求如图所示周期信号周期信号的单边Laplace变换 。 例例4 4 试求如图所示周期信号周期信号的单边Laplace变换。 解：解： 因为 所以 Re(s) 0 x1( t) 五、单边拉普拉斯变换的性