复变函数的级数(1).ppt

第四章 复变函数的级数 1 复数项级数 2 复变函数项级数 3 泰勒级数 4 洛朗级数 1 1. 数列、极限概念的 引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可 割，则与圆周合体而无所失矣” 刘徽 Play 1 复数项级数 2 A1A2A3 A1表示圆内接正6边形面积, A2表示圆内接正12边形面积, A3表示圆内接正24边形面积, An表示圆内接正62n-1边形面积, , . 显然n越大, An越接近于S. 因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势. 3 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣” 刘徽 4 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣” 刘徽 5 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣” 刘徽 6 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣” 刘徽 7 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣” 刘徽 8 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣” 刘徽 9 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣” 刘徽 10 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣” 刘徽 11 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣” 刘徽 12 1. 复数序列的极限 极限： 数列： 记作 13 复数列收敛与实数列收敛的关系： 证明 14 定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别 两个实数列的敛散性。 15 例1 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限. 解：(1) 所以 16 而该极限不存在， 故该极限不存在。 2. 复数项级数 表达式 称为复数项级数. 17 前 n 项的和 称为级数的前 n 项部分和. 级数收敛与发散的概念 例2 18 解： 复数项级数与实数项级数收敛的关系： 19 证明：因为 根据复数列收敛定理 20 所以原级数发散. 例3 解 级数收敛的必要条件： 21 重要结论: 证明： 称为条件收敛. 如果 收敛, 称级数 为绝对收敛.定义： 如果 收敛, 而 不收敛的级数 22 绝对收敛级数的性质： 证明：由于 而 根据实数项级数的绝对收敛性, 知 23 而 解 数列 是否收敛？例4 24 例5 解：级数满足必要条件, 而 故原级数发散。 25 例6 故原级数收敛, 且为绝对收敛. 所以由正项级数的比值判别法知: 因为解 r1时发散 r =1时可能收敛或发散 26 1. 复变函数项级 数 称为复变函数项级数。 称为该级数前n项的部分和. 级数前n项的和 2 复变函数项级数 27 称为该级数在区域D上的和函数. 如果级数在D内处处收敛, 那么它的 和 收敛： 和函数： 且 28 当 时， 幂级数是函数项级数的特殊情形 得到的级数称为 2. 幂级数的 定义 其中Cn(n=0,1,2,)及z0为常数 幂级数， 即 29 3. 幂级数的敛散性 定理： 如果级数 在收敛, 那么当 时,级数绝对收敛。 Abel(阿贝尔) 推论： 4.收敛圆与收敛半径 对于一个幂级数, 其收敛的情况有三种: 30 证明： 因而存在正数M,使对所有的n, 由级数 收敛的必要条件， 故 由正项级数的比较判别法得: 31 证明： 则由Abel定理, 而这与推论矛盾， (得证) 32 (1) 对任意的复数都收敛. 由Abel定理 : 级数在复平面内绝对收敛. 例如, 级数 对任意给定的 z , 则从某个n开始, 有 于是该级数对任意的实数 z 均收敛. 该级数在复平面内绝对收敛. (2) 对任意的复数(除 z = z 0外) 都发散. 33 (3) 既存在使级数发散的复数, 也存在使级数收 敛的复数. 通项nnzn不趋于零, 例如, 级数 级数发散.由函数收敛的必要条件, 由Abel定理，级数在 34 收敛圆 收敛半径 由Abel定理的推论，级数在 35 在收敛圆上是收敛还是发散, 要对具 体级数进行具体分析. 级数对于任意复数都发散时, R=0 级数对于任意复数都收敛时, R= 定义： 注意： 约定： 5. 收敛半径的计算方法 36 方法1 (比值法) 方法2 (根值法) 例1 试求幂级数(p为正整数)的收敛半径. 解 =1 37 例2 级数 的收敛半径， 并讨论它们在收敛圆上的敛散性。 解：根据比值法，三个级数都有 由于 令z=cosj+isinj, 则 38 故 在收敛圆周上无收敛点; 故 在收敛圆上处处收敛； 39 6. 幂级数的 性质 40 则内解析. 设幂级数的收敛半径为R, 41 例3 求的和函数. 解 收敛范围为一单位圆域 且有 在此圆域内, 绝对收敛, 收敛半径为1, 级数 收敛, 级数 发散. 42 (2 ) 解 (1) 例4 求下列幂级数的收敛半径: (1)(2 ) (3)(4) 43 故 (3) 所以 (4) 44 解: 把函数写成如下的形式: 其中，a与b是不相等的复常数 . 例5 把函数表成形如的幂级数 45 级数收敛, 且其和为z = b时，级数发散 由Abel定理，级数在 故级数的收敛半径为 例6 求级数的收敛半径与和函数. 解 46 利用逐项积分, 得: 所以 例7 求级数的收敛半径与和函数. 解 47 48 1. Taylor级数展开定 理 定理 z0到边界上各点的最短距离为d, 设f(z)在区域D内解析，z0为D内一点， 时,f(z)可以展开成幂级数当 其中 . d 3 Taylor(泰勒)级数 49 d . . 内任意点 证明： C . 在D内任 取一点z0， z0到边界的最短距离为d， r为半径作一圆周， 以z0为圆心， 由Cauchy积分公式 , 有 50 其中C取正方向. 则 于是 51 其中 由于f(z)在D内解析，由连续函数的性质，存在 故 所以从而f(z)在C内收敛， 52 由高阶导数公式, 上式可写成 由 0 r d 的任意性， 可以得到Taylor级数展开式(得证)。 而收敛幂级数f(z)在收敛圆内可逐项积分 泰勒系数是用z0处的导数表出的，也可用 积分表出： 53 那么 即 因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果就 是泰勒级数, 且解析函数的泰勒级数唯一. 泰勒展开式是唯一的 54 函数解析的充要条件是在该点的邻域内 可以展开为幂级数。 若f (z)在z0解析，设为f (z)距z0最近的 奇点，则 55 常用方法: 直接法和间接法. 1. 直接法: 由Taylor展开定理直接计算系数 2. 函数展开为Taylor 级数 例如： 56 故有 57 2. 间接法 : 借助于一些已知函数的展开式 , 结合幂级 数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技 巧 (代换等) , 求函数的Taylor展开式. 例如： 58 例2 分析 x y -10 59 即 将展开式两端沿 C 逐项积分, 得 解 60 附: 常见函数的泰勒展开式 61 62 63 例3 解 64 例4 解 65 例4 解 上式两边逐项求导, 66 例5 解 67 例6 解 且 68 69 1 问题的引 入 上节研究了如下的幂级数： 对于一般的函数项级数 应该可以取具有负幂的 ： 4 Laurent(洛朗)级数 70 负幂项部分正幂项部分 主要部分解析部分 同时收敛 Laurent级数 收敛 71 收敛半径 收敛域 收敛半径 收敛域 两收敛域无公共部分, 两收敛域有公共部分 R 72 结论: . 常见的特殊圆环域: . 73 (1) 任一幂级数，如果收敛，必在圆域内 收敛，且和函数在圆域内解析。 已知：如果Laurent级数收敛，必在圆环 域内收敛，且和函数在圆环域内解析。 问题：在圆环域内解析的函数是否可以展 开成Laurent级数? 幂级数的特征： (2) 在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数。 74 2. Laurent级数展开 定理 C为圆环域内绕 的任 称cn为Laurent系数. 定理 一正向简单闭曲线. 75 证明： 对于第一个积分: R r .z . . 76 分析： 收 敛极限为0 77 对于积分: R r .z . . 注意到 78 79 如果C为在圆环域内绕 的任何一条正向简单 闭曲线 . 则 可用一个式子表示为:则 80 Laurent级数展开式必是唯一的 假设Laurent级数还有另一展开式为： 故 区域为圆盘有泰勒展式，为圆环则有洛朗展式。 泰勒展开式是洛朗展开式的特殊情形 81 3. 函数的Laurent展开 式 (1) 直接展开法 利用定理公式计算系数 然后写出 根据Laurent级数展开式的唯一性, 运用代换、求导和积分等方法去展开 . (2) 间接展开法 82 例如， 都不解析, 而在圆环域及内都解析. 83 也可以展开成级数： Laurent展开式是唯一的. 唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的 84 例1 解由已知函数 的展开式 可以直接得到 85 例2 内解析, 把 f (z) 展成Laurent级数. 解 ox y 1 86 12 o x y 由 87 且仍有 88 2o x y 由 仍有 此时 89 解： 例3 90 例2 内的Laurent展开式. 解： 2 i -i x y o 91 2 i -i x y o 92 93 例3 解： 2x y 0 94 作 业 P101 T5(2)(3)(6) T7(1)(2)(4) T8(1)(3)(4) 95 N. Abel 简介1802.8.5生于挪威； 1829.4.6在挪威去世。 1821秋进入大学； 1822发表了函数方程和积分 方程两篇论文； 1823考虑五次方程求通解； 1824将小册子自费出版； 1825开始海外之旅； 1827在朋友的赞助下回国； “穷得就象教堂里的老鼠” 开创群论，由此研究代数； 在分析方面有许多工作，并由此开创了椭圆函数论 。 96 复数项级数函数项级数 充 要 条 件 必 要 条 件 幂级数 收敛半径R 复 变 函 数 绝 对 收 敛 运算与性质 收敛条件 条 件 收 敛 复数列收敛半径的计算 Taylor 级数Laurent级数 主要内容 97 5. 将下列各