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第五节 对坐标的曲面积分 一. 有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 莫比乌斯带 曲面分上 侧和下侧 曲面分内 侧和外侧 曲面分左 侧和右侧 1 其方向用法向 方向余弦 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧 外侧 内侧 设 为有向曲面, 侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面, 量指向表示 : 其面元在 xoy 面上的投影为 记的面积为则规定 当时 当时 当时 2 二、概念的引入 实例: 流向曲面一侧的流量. 3 4 1. 分割 则该点流速为 . 单位法向量为 . 5 3. 求和 6 4.取极限 7 三、概念及性质 8 被积函数 积分曲面 类似可定义 9 存在条件: 组合形式: 物理意义: 10 性质: 11 四、计算法 12 13 注意(1)对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. 14 根据对称性 判别下述解法是否正确: 例1. 计算曲面积分 , 其中 为球面 外侧在第一和第五卦限部分. 解: 把 分为上下两部分 15 例1. 计算曲面积分 , 其中 为球面 外侧在第一和第五卦限部分. 解: 把 分为上下两部分 16 其中 是旋转抛物面 取下侧。 解： 在 xoy 面投影域为 取 的方向为下侧， 其中： 把 分成两部分： 17 取前侧； 取后侧。 18 19 例3. 计算积分 其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立 方体的整个表面的外侧. 解: 由被积表达式及积分曲面的对称性知 原式 的顶部 取上侧 的底部 取下侧 20 五. 两类曲面积分的联系 定义 21 其中 是有向曲面法向量的方向余弦 22 两类曲面积分之间的联系 23 向量形式 24 例4. 设是其外法向量与 z 轴正 向夹成的锐
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