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实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 爬行 一、问题的提出 讨论函数 在一点P沿某一方向 的变化率问题 二、方向导数的定义 （如图） 当 沿着 趋于 时， 是否存在？ 记为 证明由于函数可微，则增量可表示为 两边同除以得到 故有方向导数 解 解由方向导数的计算公式知 故 推广可得三元函数方向导数的定义 解令 故 方向余弦为 故 三、梯度的概念 结论 在几何上 表示一个曲面 曲面被平面 所截得 所得曲线在xoy面上投影如图 等高线 梯度为等高线上的法向量 等高线的画法 播放 例如, 梯度与等高线的关系： 类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值. 梯度的概念可以推广到三元函数 解 由梯度计算公式得 故 思考题 思考题解答 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 等
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