级(上)第03次课第二节数列的极限.ppt

上一页下一页 返回 第二节 数列的极限 一、数列极限的定义 （一）概念的引入 （二）数列的定义 （三）数列的极限 二、收敛数列的性质 上一页下一页 返回 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 1、割圆术： 播放刘徽 （一）概念的引入 上一页下一页 返回 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 上一页下一页 返回 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 上一页下一页 返回 （二）数列的定义 例如 上一页下一页 返回 注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 上一页下一页 返回 （三）数列的极限 播放 上一页下一页 返回 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它. 通过上面演示实验的观察: 上一页下一页 返回 上一页下一页 返回 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 上一页下一页 返回 几何解释: 其中 上一页下一页 返回 几点说明： 是任意给定的，但一经给定，它就 是一个常数； 如果存在N，则N不是唯一的。每个比 N大的正整数都可充当定义中的N； N是与 关的正整数。给了一个 就找 一个N；换一个 ，就再另找一个N； 是指对于一切 比N大的序号n, 恒有 上一页下一页 返回 1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 刘徽 （一）概念的引入 上一页下一页 返回 1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 刘徽 （一）概念的引入 上一页下一页 返回 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 1、割圆术： 刘徽 （一）概念的引入 上一页下一页 返回 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 1、割圆术： 刘徽 （一）概念的引入 上一页下一页 返回 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 1、割圆术： 刘徽 （一）概念的引入 上一页下一页 返回 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 1、割圆术： 刘徽 （一）概念的引入 上一页下一页 返回 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 1、割圆术： 刘徽 （一）概念的引入 上一页下一页 返回 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 1、割圆术： 刘徽 （一）概念的引入 上一页下一页 返回 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 1、割圆术： 刘徽 （一）概念的引入 上一页下一页 返回 （三）数列的极限 上一页下一页 返回 （三）数列的极限 上一页下一页 返回 （三）数列的极限 上一页下一页 返回 （三）数列的极限 上一页下一页 返回 （三）数列的极限 上一页下一页 返回 （三）数列的极限 上一页下一页 返回 （三）数列的极限 上一页下一页 返回 （三）数列的极限 上一页下一页 返回 （三）数列的极限 上一页下一页 返回 （三）数列的极限 上一页下一页 返回 （三）数列的极限 上一页下一页 返回 （三）数列的极限 上一页下一页 返回 （三）数列的极限 上一页下一页 返回 例1 证 所以, 常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 寻找N,但不必要求最小的N. 上一页下一页 返回 例2 要使 只须 分析： 证： 上一页下一页 返回 例3 分析： 要使 只须 上一页下一页 返回 证则由例1， 上一页下一页 返回 例4 证 上一页下一页 返回 二、收敛数列的性质 1.有界性 例如, 有界无界 上一页下一页 返回 定理1 收敛的数列必定有界. 证由定义, 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 上一页下一页 返回 2.唯一性 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. 证由定义, 故收敛数列极限唯一. 上一页下一页 返回 3. 保号性 定理3 如果且 证由定义,对 有 从而 推论 如果数列从某项起有 且那么用反证法 上一页下一页 返回 在数列 中依次任意抽出无穷多项: 所构成的新数列 这里 是原数列中的第 项,在子数列中是 第k项, 4. 收敛数列与其子数列(subsequence)间的关系 子数列.叫做数列 上一页下一页 返回 * 证是数列的任一子数列. 若则 成立. 现取正整数 K,使于是当时, 有 从而有由此证明 * 定理4 设数列 正整数 K 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限. 上一页下一页 返回 由此定理可知, 但若已知一个子数列发散, 或有两个子数列 敛于a . 收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的. 一般不能断定原数列的收敛性; 还可以证明: 数列的奇子数列和偶子数列 均收敛于同一常数a 时,则数列也收 仅从某一个子数列的收敛 (证明留作思考题) 上一页下一页 返回 例5试证数列 不收敛. 证 因为 的奇子数列 不收敛. 收敛于 而偶子数列 所以数列 收敛于 上一页下一页 返回 数列 数列极限 收敛数列的性质 收敛数列