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文档简介

1.6 无穷小的比较 本节我们对一些尚未解决的极限问题做一点 初步的讨论. 因为无穷大的倒数为无穷小, 我们用“ 0 ”和“ ”分别表示无穷小和无穷大, 则下列形式的极限都不能用极限运算法则求解: 所以, 和 都可以看做 的变形. 由 也是 的变形. 原因是这些形式的极限值可能是任意的实数, 也可能不存在. 我们称上述四种形式的极限为未定式的极限, 例如,不存在. 另外, 对幂指函数 ( 且不恒等于1), 由 及指数函数与对数函数的连续性, 有 如果 为未定式的极限, 为 型未定式, 即 则 也是未定式, 且有以下三种形式： 而且这三种形式经过函数的恒等变形都可以化为 的形式. 综上所述, 两个无穷小之商的极限, 在极限的 讨论中具有特别的地位. 实际上, 这样的极限是对两个无穷小趋于零的 速度进行比较, 简称无穷小的比较. 例如, 当 不可比. 下面我们对无穷小趋于零的速度进行量化比较. 观察各极限 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 不存在, 定义1.11 (无穷小量阶的比较) 记作 记作 注：在不太关心无穷小具体表示时, 也把无穷小 记作 例1 证明当 证 (1) (2) 故 (2) 成立. (3) 由(1)有 再由(2)有 特别地, 如果当 时, 是无穷小, 习惯将 同幂函数进行比较. 例2 当 解 常用等价无穷小: 一个无穷小性质: 例如, 当 证 定理1.26 (无穷小的等价代换) 意义: 利用等价无穷小代换可以简化极限的计算. 解 注意: 无穷小替换定理适用于乘、除情形, 无穷小代数和的情形需慎用. 例3 求 解 解 错 例4 求 解 例5 求 解 故 求 作业 习题1.6 (6
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