专题10+数列求和及其应用(易错起源)-2018年高考数学(理)备考黄金易错点+Word版含解析.doc

1.【2017天津，理18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.（）求和的通项公式；（）求数列的前n项和.【答案】 （1）.（2）.【解析】（II）解：设数列的前项和为，由， ，有，故，上述两式相减，得 得.所以，数列的前项和为.2.【2017江苏，19】 对于给定的正整数,若数列满足 对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.（1）证明：等差数列是“数列”;（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列.【答案】（1）见解析（2）见解析（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，当时， ，当时， .由知， ， ，将代入，得，其中，所以是等差数列，设其公差为.在中，取，则，所以，在中，取，则，所以，所以数列是等差数列.3.【2017山东，理19】已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2（）求数列xn的通项公式；（）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.【答案】(I)（II）（II）过向轴作垂线，垂足分别为,由(I)得记梯形的面积为.由题意，所以+=+ 又+ -得= 所以4.【2016高考天津理数】已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等差中项.()设，求证：是等差数列；()设 ，求证：【答案】（）详见解析（）详见解析【解析】（）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.（）证明： 所以.5.【2016高考新课标3理数】已知数列的前n项和，其中（I）证明是等比数列，并求其通项公式；（II）若 ，求【答案】（）；（）【解析】（）由题意得，故，由，得，即由，得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列，于是（）由（）得，由得，即，解得6.【2016高考浙江理数】设数列满足，（I）证明：，；（II）若，证明：，【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析【解析】（I）由得，故，所以，因此（II）任取，由（I）知，对于任意，故从而对于任意，均有由的任意性得 否则，存在，有，取正整数且，则，与式矛盾综上，对于任意，均有7.【2016年高考北京理数】（本小题13分）设数列A： ， , ().如果对小于()的每个正整数都有 ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；（2）证明：若数列A中存在使得，则 ；（3）证明：若数列A满足- 1（n=2,3, ,N）,则的元素个数不小于 -.【答案】（1）的元素为和；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】（）当时，结论成立.以下设.由（）知.设.记.则.对，记.如果，取，则对任何.从而且.又因为是中的最大元素，所以.从而对任意，特别地，.对.因此.所以.因此的元素个数p不小于.8.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）已知数列 的首项为1， 为数列的前n项和， ，其中q0， .（）若 成等差数列，求的通项公式；（）设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.【答案】（）；（）详见解析.【解析】（）由已知， 两式相减得到.又由得到，故对所有都成立.所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.从而.由成等比数列，可得，即，则，由已知,，故 .所以.（）由（）可知，.所以双曲线的离心率 由解得.因为，所以.于是，故.9.【2016高考上海理数】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.（1）若具有性质，且，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，判断是否具有性质，并说明理由；（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.【答案】（1）（2）不具有性质（3）见解析【解析】（1）因为，所以，于是，又因为，解得（3）证充分性：当为常数列时，对任意给定的，只要，则由，必有充分性得证必要性：用反证法证明假设不是常数列，则存在，使得，而下面证明存在满足的，使得，但设，取，使得，则，故存在使得取，因为（），所以，依此类推，得但，即所以不具有性质，矛盾必要性得证综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”10.【2016高考新课标2理数】为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如（）求；（）求数列的前1 000项和【答案】（）， ；（）1893.【解析】（）设的公差为，据已知有，解得所以的通项公式为（）因为所以数列的前项和为易错起源1、分组转化求和例1、等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：bnan(1)nlnan，求数列bn的前n项和Sn. (2)因为bnan(1)nlnan23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln2ln3)(1)nnln3，所以Sn2(133n1)111(1)n(ln2ln3)123(1)nnln3.当n为偶数时，Sn2ln33nln31；当n为奇数时，Sn2(ln2ln3)ln33nln3ln21.综上所述，Sn【变式探究】设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a22，且an23SnSn13，nN*.(1)证明：an23an；(2)求Sn.(1)证明由条件，对任意nN*，有an23SnSn13，因而对任意nN*，n2，有an13Sn1Sn3.两式相减，得an2an13anan1，即an23an，n2.又a11，a22，所以a33S1S233a1(a1a2)33a1，故对一切nN*，an23an.(2)解由(1)知，an0，所以3.于是数列a2n1是首项a11，公比为3等比数列；数列a2n是首项a22，公比为3的等比数列因此a2n13n1，a2n23n1.于是S2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(133n1)2(133n1)3(133n1).从而S2n1S2na2n23n1(53n21)综上所述，【名师点睛】在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式【锦囊妙计，战胜自我】有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并易错起源2、错位相减法求和例2、已知数列an的前n项和为Sn，且有a12,3Sn5anan13Sn1(n2)(1)求数列an的通项公式；(2)若bn(2n1)an，求数列bn的前n项和Tn.解(1)3Sn3Sn15anan1(n2)，2anan1，又a12，an是首项为2，公比为的等比数列，an2()n1()n222n.【变式探究】已知正项数列an的前n项和Sn满足：4Sn(an1)(an3)(nN*)(1)求an；(2)若bn2nan，求数列bn的前n项和Tn.解(1)4Sn(an1)(an3)a2an3，当n2时，4Sn1a2an13，两式相减得，4anaa2an2an1，化简得，(anan1)(anan12)0，an是正项数列，anan10，anan120，对任意n2，nN*都有anan12，又由4S1a2a13得，a2a130，解得a13或a11(舍去)，an是首项为3，公差为2的等差数列，an32(n1)2n1.(2)由已知及(1)知，bn(2n1)2n，Tn321522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1，得，Tn3212(2223242n)(2n1)2n162(2n1)2n12(2n1)2n1.【名师点睛】(1)错位相减法适用于求数列anbn的前n项和，其中an为等差数列，bn为等比数列；(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数(3)为保证结果正确，可对得到的和取n1,2进行验证【锦囊妙计，战胜自我】错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列易错起源3、裂项相消法求和例3设等差数列an的前n项和为Sn，a223a72，且，S3成等比数列，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn，若对于任意的nN*，都有8Tn225成立，求实数的取值范围解(1)设等差数列an的公差为d，由即解得或当a1，d时，没有意义，a12，d2，此时an22(n1)2n.【变式探究】(1)设Sn为等差数列an的前n项和，a22，S515，若的前m项和为，则m的值为()A8B9C10D11(2)已知数列an的通项公式为anlog2 (nN*)，设其前n项和为Sn，则使Sn5成立的正整数n有()A最小值63B最大值63C最小值31D最大值31答案(1)B(2)A解析(1)设数列an的首项为a1，公差为d，则有a1d1，ann，.11，m9.(2)anlog2 (nN*)，Sna1a2anlog2log2log2(log22log23)(log23log24)log2(n1)log2(n2)log22log2(n2)log2，由Sn5log262，故使