北京工业大学线性代数第一章第五节.ppt

第五节 行列式按一行（列）展开 一、余子式、代数余子式的概念 二、行列式按行（列）展开法则 1 三阶行列式与二阶行列式的关系 2 其中分别称为的余子式， 分别称为的代数余子式。 数余子式的乘积之和。 3阶行列式等于它的第一行元素与自己的代说明： 上述结论对于n阶行列式的任意一行也成立 。 猜想： 3 阶行列式中, 把元素 称为 而 的代数余子式 在所在的第 行和第 列划去后, 留下来的 阶行列式称 的余子式, 记作 如： 一、余子式与代数余子式 定义： 为元素 4 式和一个代数余子式。 行列式的每个元素分别对应着一个余子注： 5 一个n 阶行列式,如果其中第 例如 引理行所有 元素除外都为零，那末这个行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 二、行列式按行（列）展开法则 6 当 aij 位于第一行第一列时, 又 从而 证明 7 把D的第i行依次与第i-1行,i-2行,1行对 调,得 若aij位于第i行第j列, 8 把D的第j列依次与第j-1列,j-2列,1列对 调,得 9 10 中的余子式 在 中的余子式也是在 11 于是有 12 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即 证 定理 13 14 用行列式按行（列）展开法则可将行 列式降阶。 将计算1个三阶行列式转换为计算3个二阶 行列式。一个n 阶行列式按行（列）展开后， 得到 n个n-1阶行列式，可以减少计算量。 如 说明： 15 计算行列式的基本方法之二 先利用行列式的性质将行列式的某一 行(列)许多元素化成0，然后再按这一行(列 )展开。这样继续下去，总可以将一个高阶 行列式的求值问题转化成2阶行列式的求值 问题, 从而大大简化了计算。 为了尽量避免分数运算，尽可能选择1 或-1所在的行(或列)把该行(或列)的许多元 素化成0，然后按该行(或列)展开。 说明 16 例1 17 例2 计算行列式 （书 P22例152） 解 18 例3 证明 证按行列式第一行展开 左端 19 用数学归纳法可以证明： 20 例4计算 阶行列式 解： 21 问题： 把下述3阶行列式的第1行元素与第2行相 应元素的代数余子式相乘再相加，结果如何呢？ 说明：3阶行列式的第1行元素与第2行相应元素 的代数余子式乘积之和等于0。 猜想：n阶行列式也有类似结论. =0 把D中的第2行元素换 成第1行元素, 得下述 行列式, 按第二行展开 = 22 行列式D的任一行(列)的元素与另一行( 列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零， 即 证 定理 设 把D中的第j行 元素换成第i行 元素，得下述 行列式 23 0 由于行列式的行与列的地位对称，因此也有 将该行列式按第j行展开, 得 24 如上两个定理可以写成 25 证 用数学归纳法 例5 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 26 看n 阶范德蒙行列式， 假设（1）对于 n-1阶范德蒙行列式成立， ， 按第1列展开，并把每列的公因子 提出，就有 27 n-1阶范德蒙德行列式 说明：范德蒙行列式在许多实际问题中出 现，我们可以用公式(1)立即写出它的值。 28 例6：计算行列式 解： 29 例7设n 阶行列式 求第一行各元素的 代数余子式之和 解： 第一行各元素的代数