概率论与数理统计第三讲.ppt

概率论与数理统计 条件概率（2） 独立性 1 全概率公式和贝叶斯公式主要用于 计算比较复杂事件的概率. 综合运用 加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥 乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)0 一、全概率公式 2 例1 有三个箱子，分别编号为1、2、3，1号 箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2个红球3 白球，3号箱装有3个红球. 某人从三箱中任取 一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率 . 解：记 Bi=球取自i号箱, i=1,2,3; A =取得红球 即 A= B1A+B2A+B3A， A发生总是伴随着B1，B2，B3 之一同时发生， P(A)=P( B1A)+P(B2A)+P(B3A) 运用加法公式得 123 且 B1A、B2A、B3A两两互斥 3 将此例中所用的方法推广到一般的情 形，就得到在概率计算中常用的全概率公 式. 对求和中的每一项 运用乘法公式得 P(A)=P( B1A)+P(B2A)+P(B3A) 代入数据计算得：P(A)=8/15 4 也称满足上述条件的B1,B2,Bn为完备事件组. 定义 设S为试验E的样本空间，B1,B2,Bn 为E的一组事件.若 则称B1,B2,Bn为样本空间S的一个划分. 5 全概率公式: 设试验E的样本空间为S，A为E的事件， B1,B2,Bn为S的一个划分，且有P(Bi)0， i =1,2,n, 则 在较复杂情况下直接计算P(A)不易,但A 总是伴随着某个Bi出现，适当地去构造这一 组Bi往往可以简化计算. 6 某一事件A的发生有各种可能的原因，如 果A是由原因Bi (i=1,2,n)所引起，则A发 生的概率是 每一原因都可能导致A发生，故A发生的 概率是各原因引起A发生概率的总和，即全 概率公式. 或理解为： 全概率公式应用演示 实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因” 7 有三个箱子，分别编号为1、2、3，1号箱 装有1个红球4个白球，2号箱装有2个红球3个 白球，3号箱装有3个红球. 某人从三箱中任取 一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该 球是取自1号箱的概率 . 123 1红4白 ? 二、贝叶斯公式 8 某人从任一箱中任意摸出 一球，发现是红球，求该 球是取自1号箱的概率. 记 Bi=球取自i号箱, i=1,2,3; A =取得红球 求P(B1|A) 运用全概率公式 计算P(A) 将这里得到的公式一般化，就得到 贝叶斯公式 123 1红4白 ? 9 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找 导致B发生的每个原因的概率. 贝叶斯公式： 设试验E的样本空间为S，A为E的事件， B1,B2,Bn为S的一个划分，且P(A)0 ， P(Bi)0，（i =1,2,n）, 则 10 例 2 某一地区患有癌症的人占0.005，患者 对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常 人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现 抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是 癌症患者的概率有多大? 则 表示“抽查的人不患癌症”. 已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04 解: 设 C=抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性， 求P(C|A). 11 现在来分析一下结果的意义. 由贝叶斯公式，可得 代入数据计算得: P(CA)= 0.1066 2. 检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？ 12 如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率 P(C)=0.005 患者阳性反应的概率是0.95，若试验后 得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人 是患者的概率为 P(CA)= 0.1066 说明这种试验对于诊断一个人是否患有 癌症有意义. 从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍. 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有 无意义？ 13 2. 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论 你有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来 说，1000个人中大约只有107人确患癌症)， 此时医生常要通过再试验来确认. 14 贝叶斯公式 在贝叶斯公式中，P(Bi)和P(Bi |A)分别称为 原因的验前概率和验后概率. P(Bi)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不 知道事件A是否发生）的情况下，人们对诸 事件发生可能性大小的认识. 当有了新的信息（知道A发生），人们对 诸事件发生可能性大小P(Bi | A)有了新的估计. 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。 15 在不了解案情细节(事件A) 之前，侦破人员根据过去 的前科，对他们作案的可 能性有一个估计，设为 比如原来认为作案可能性较小的某甲， 现在变成了重点嫌疑犯. 例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有 甲、乙、丙三人. 甲乙丙 P(B1) P(B2) P(B3) 但在知道案情细 节后, 这个估计 就有了变化. P(B1 | A) 知道A 发生后 P(B2 | A) P(B3 | A) 最大 偏小 16 例3 由于随机干扰，在无线电通讯中发出信 号“ ”, 收到信号“ ”、“不清”、“ ” 的 概率分别为0.7、 0.2、 0.1； 发出信号 “ ”,收到信号“ ”、“不清”、“ ”的概率 分别为0.0、0.1、0.9.已知在发出的信号中, “ ”和“ ”出现的概率分别为0.6 和0.4, 试分析, 当收到信号 “不清”时, 原发信号为 “ ”和“ ”的概率哪个大？ 解 设原发信号为“ ”为事件 B1， 原发信号为“ ”为事件 B2， 收到信号“不清” 为事件 A. 例6 17 已知： 可见, 当收到信号“不清”时, 原发信号为 “ ”的可能性大. 18 显然 P(A|B)=P(A) 这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发 生的概率,这时称事件A、B独立. A=第二次掷出6点 ， B=第一次掷 出6点， 先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次， 设 三、事件的独立性 19 由乘法公式知，当事件A、B独立时， 定义 若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) 则称A、B独立，或称A、B相互独立. 有 P(AB)=P(A) P(B) 容易证明,若两事件A、B独立，则 也相互独立. 20 例4 从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的 可见, P(AB)=P(A)P(B) 由于 P(A)=4/52=1/13, 说明事件A、B独立. 问事件A、B是否独立？ 解： P(AB)=2/52=1/26 P(B)=26/52=1/2 在实际应用中, 往往根据问题的实际意 义去判断两事件是否独立. 例如两人射击. 21 四、多个事件的独立性 将两事件独立的定义推广到三个事件： 对于三个事件A、B、C，若 P(AB)= P(A)P(B) 四个等式同时 P(AC)= P(A)P(C) 成立,则称事件 P(BC)= P(B)P(C) A、B、C相互 P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 独立. 注：关系式(1)(3)成立时,称 A, B, C 两两独立 两两独立 相互独立 22 推广到n个事件的独立性定义,可类似写出： 包含等式 总数为： 设A1,A2, ,An是 n个事件，如果对任意k (1k n),任意1 i1i2 ik n,具有等式 则称A1,A2, ,An为相互独立的事件. 两个推论（p 27）. 23 例5 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三 人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人 击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概 率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞 机被击落的概率. 设A=飞机被击落 Bi=飞机被i个人击中, i=1,2,3 由全概率公式 P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A|B3) 则 A=B1A+B2A+B3A 解: 依题意， P(A|B1)=0.2, P(A|B2)=0.6, P(A|B3)=1 24 可求得: 为求P(Bi ) , 设 Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3 将数据代入计算得: P(B1)=0.36; P(B2)=0.41; P(B3)=0.14. P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A|B3) 25 于是 P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A|B3) =0.458 =0.360.2 + 0.41 0.6 + 0.141 即飞机被击落的概率为0.458. P(B1)=0.36; P(B2)=0.41; P(B3)=0.14. 26 对独立事件，许多概率计算可得到简化： 例6 三人独立地去破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至 少有一人能将密码译出的概率是多少？ 解：将三人编号为1，2，3， 五、独立性在概率计算中的应用 所求为 P(A1+A2+A3) 记 Ai=第i个人破译出密码 i=1,2,3 27 记 Ai=第i个人破译出密码 i=1,2,3 1 2 所求为 P(A1+A2+A3) 已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 P(A1+A2+A3) =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 3 “诸葛亮和臭皮匠” 28 一个元件(或系统)能正常工作的概率称 为元件(或系统)的可靠性. 系统由元件组成,常见的元件连接方式： 串联 并联 1 2 21 系统的可靠性问题 例6 29 设两系统都是由4个元件组成,每个元件 正常工作的概率为 p , 每个元件是否正常工 作相互独立.两系统的连接方式如下图所示， 比较两系统的可靠性. A1A2 B2 B1 S1: 30