数学实验三报告.docx

实验3 插值与数值积分实验报告一、实验目的1、掌握用Matlab计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析；2、掌握用Matlab及梯形公式、辛普森公式计算数值积分；3、通过实例学习用插值和数值积分解决实际问题。二、实验内容10、表3.7给出的x,y数据位于机翼剖面的轮廓线上，y1和y2分别对应轮廓的上下线。假设需要得到x坐标每改变0.1时的y坐标。试完成加工所需数据，画出曲线，求机翼剖面的面积。表3.7 机翼剖面轮廓线数据x035791112131415y101.82.22.73.03.12.92.52.01.6y201.21.72.02.12.01.81.21.01.6曲线绘制利用Matlab编程画出机翼轮廓线，内容如下：(1)三次样条插值x=0 3 5 7 9 11 12 13 14 15;y1=0 1.8 2.2 2.7 3.0 3.1 2.9 2.5 2.0 1.6;y2=0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6;u=0:0.1:15;v1=spline(x,y1,u);v2=spline(x,y2,u);plot(u,v1,u,v2);grid;xlabel(x);ylabel(y1或y2);gtext(y1(x);gtext(y2(x);其中，u为插值设置了步长和范围，grid命令可以为曲线图添加网格线，xlabel、ylabel分别为横坐标、纵坐标添加标签，gtext命令可以实现曲线名称的添加。得到的结果如下：(2)分段线性插值将v1、v2部分代码改为v1=interp1(x,y1,u);v2=interp1(x,y2,u);得到的图形如下：可见，用分段线性插值会使得曲线不够光滑（特别是区间10,15的部分）。(3)拉格朗日插值根据教材内容，用Matlab编程，内容如下：function y=lagr(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0; for k=1:n p=1; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;end并相应地改变v1、v2，输出的结果如下：可见，曲线出现了严重的振荡，对于此题，拉格朗日插值法已不适用。面积计算利用梯形公式计算图形面积，相关代码如下：v=v1-v2;trapz(u,v)对于三次样条插值法，输出的结果为：ans = 11.3444对于分段线性插值法，输出的结果为：ans = 10.7500由于三次样条插值法得到的图形更接近实际图形，用它算得的面积应更准确。11、图3.13是欧洲一个国家的地图（图参考教材），为了算出它的国土面积，首先对地图作如下测量，以由西向东方向为x轴，由南向北方向为y轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x轴上的区间适当地划分为若干段，在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y坐标y1和y2，这样就得到了表3.8的数据（单位：mm）。根据地图的比例我们知道18mm相当于40km，试由测量数据计算该国国土的近似面积，与它的精确值41288km2做比较。表3.8 地图边界点数据x7.010.513.017.534.040.544.548.056.061.068.576.580.591.0y14445475050383030343634414546y24459707293100110110110117118116118118x96101104106.5111.5118123.5136.5142146150157158y143373328326555545250666668y2121124121121121122116838182868568曲线绘制相关代码如下：x=7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0;y1=44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68;y2=44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118 121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86 85 68;u=7:0.1:158;v1=interp1(x,y1,u);v2=interp1(x,y2,u);plot(u,v1,u,v2);grid;xlabel(x);ylabel(y1或y2);输出的结果如下：与教材的原图十分相似。若用三次样条插值，得到的结果如下：由于曲线变得光滑，得到的图形反而与实际图形相差较远，所以此题分段线性插值更为适用。面积计算相关代码如下：v=v2-v1;S=402*trapz(u,v)/182其中，面积进行了单位换算。对于分段线性插值法，结果如下：S = 4.2414e+04即42414km2。对于三次样条插值法，结果如下：S = 4.2468e+04即42468km2。可见，分段线性插值法得到的结果更接近实际值，这与画图中的分析是相符的。12、桥梁的一端每隔一段时间记录1min有几辆车过桥，得到表3.9的过桥车辆数据：表3.9 过桥车辆数据时间车辆数/辆时间车辆数/辆时间车辆数/辆0:0029:001218:00222:00210:00519:00104:00011:301020:0095:00212:301221:00116:00514:00722:0087:00816:00923:0098:002517:002824:003试估计一天通过桥梁的车流量。Matlab编程内容如下：x=0 2 4 5 6 7 8 9 10.5 11.5 12.5 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24;y=2 2 0 2 5 8 25 12 5 10 12 7 9 28 22 10 9 11 8 9 3;u=0:1/60:24;v=interp1(x,y,u);n=sum(v)其中，10.5表示时间10:30，u中步长为1/60的意思是1/60小时，即1分钟，sum命令的作用是对每个节点的v值进行求和，得到的结果即估计的一天的通过桥梁的车流量。对于分段线性插值法，结果如下：n = 1.2993e+04对于三次样条插值法，结果如下：n = 1.2671e+04需要注意的是，这两种方法的准确性没有办法比较，因为我们不知道实际的车流量曲线是更光滑还是更接近折线的形状，因此最终结果可以取一个平均值。三、实验收获通过本次实验，我对Ma