考点105圆锥曲线中的定值、定点问题.doc

考点105圆锥曲线中的定值、定点问题一、课本基础提炼1.将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y得到关于x的方程mx2+nx+p=0.（1）若m0，当0时，直线与圆锥曲线有两个交点. 当=0时，直线与圆锥曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切. 当0时，直线与圆锥曲线无公共点.（2）当m=0时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行；若圆锥曲线为抛物线，则直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线的对称轴平行.（3）设直线与圆锥曲线的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则2. 直线ykxb(k0)与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长二、二级结论必备1.对与圆锥曲线有关的中点弦问题，常用点差法，及设出弦的端点坐标，代入曲线方程，两式相减，利用中点公式和直线的斜率公式即可得出直线的斜率.2. 已知抛物线y22px(p0)，过其焦点的直线交抛物线于A、B两点(如右图所示)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有以下结论：(1)|AB|x1x2p，或(为AB所在直线的倾斜角)；(2)(3)y1y2p2.(4)以AB为直径的 圆与抛物线的准线相切.3.过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p4.椭圆与双曲线的通径长为5.P(x0，y0)是抛物线C上一点，F为抛物线的焦点.（1）当焦点在x轴正半轴上时，（2）当焦点在x轴负半轴上时，（3）当焦点在x轴正半轴上时，（4）当焦点在x轴正半轴上时，1.圆锥曲线中的定点问题求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明例1已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.() 求动圆圆心的轨迹C的方程;() 已知点B(1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是PBQ的角平分线, 证明直线l过定点.【查看答案】【答案】()y2=8x; () 定点（1,0）【解析】() A(4,0),设圆心C(x，y)，MN线段的中点为E，由几何图像知：CA2=CM2=ME2+EC2(x-4)2+y2=42+x2y2=8x()点B(1,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2)由题知y1+y20,y1y20,8(y1+y2)+y1y2(y2+y1)=08+y1y2=0直线PQ方程为：y(y2+y1)-y1(y2+y1)y(y2+y1)+8=8xy=0,x=1所以，直线PQ过定点（1,0）【点评】对于定点问题解题技巧：（1）在处理定点与定值问题时，注意从特殊入手这一方法的应用，可以避免盲目的探索.（2）在处理这一问题时，注意整体代换的应用，和设而不求思想的应用.2. 圆锥曲线中的定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的方 法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值例2如图，已知双曲线(a0)的右焦点F,点A,B分别在C的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA(O为坐标原点）.（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P(x0，y0)(y00)的直线与直线AF相交于点M，与直线相交于点N，证明点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.【查看答案】【答案】【解析】（1）设F(c，0)，因为b=1，所以直线OB方程为直线BF的方程为，解得又直线OA的方程为则又因为ABOB，所以，解得a2=3，故双曲线C的方程为（2）由（1）知，则直线l的方程为(y0)，即因为直线AF的方程为x=2，所以直线l与AF的交点直线l与直线的交点为因为是C上一点，则，代入上式得故所求定值为【点评】圆锥曲线中的定值、定点问题要善于从运动中寻找不变的要素，可以先通过特例、极限位置等探求定值、定点，然后利用推理证明的方法证明之1【2015江西命题中心押题】在平面直角坐标系xoy中，E,F两点的坐标分别为(0,1),(0,-1)，动点G满足:直线EG与直线FG的斜率之积为（1）求动点G的轨迹方程；（2）设A,B为动点G的轨迹的左右顶点，P为直线l:x=4上的一动点（点P不在x轴上），连AP交G的轨迹于G点，连PB并延长交G的轨迹于D点，试问直线CD是否过定点？若成立，请求出该定点坐标，若不成立，请说明理由【查看答案】【答案】（1）；（2）直线CD恒过定点(1,0)【解析】（1）已知 E(0,1),F(0,-1)，设动点G的坐标(x,y)，所以直线EG的斜率，直线FG的斜率，又，所以，即（2）设P(4,y0)(y00)，又A(-2,0)，则f(x-1)2f(x)，故直线AP的方程为：，代入椭圆方程并整理得：4|x-a|-2|x-(1+a)|x2+2x-1。由韦达定理：x0,+)即a0，同理可解得：故直线CD的方程为y=kCD(x-xC)+yC，即，故直线CD恒过定点(1,0)2【2015上饶市高三六校联考】已知定点F（3，0）和动点P（x，y），H为PF的中点，O为坐标原点，且满足|OH|-|HF|=2（1）求点P的轨迹方程；（2）过点F作直线l与点P的轨迹交于A，B两点，点C（2，0）连接AC，BC与直线分别交于点M，N试证明：以MN为直径的圆恒过点F【查看答案】【答案】（1），（2）证明见解析，【解析】（1）如图取F(-3,0)连接PF，|OH|-|HF|=2，|PF|-|PF|=4，由双曲线定义知，点P的轨迹是以F,F为焦点的双曲线的右支a=2,c=3，b=c-a=9-4=5 ，点P的轨迹方程为：（2）设A（x1,y1），B（x2,y2）,直线l方程为x=ty+3，联立整理得：(5t-4)y+30ty+25=0，（6分）A,C,M三点共线， 同理FMFN即MFN=90以MN为直径的圆恒过点F3【2015菏泽市期末】在平面直角坐标系中，已知点A（1,0），点B在直线l：x=-1 上运动，过点B与l垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点M（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）过（1）中轨迹E上的点P (1,2)作两条直线分别与轨迹E相交于C(x1,y1),D(x2,y2)两点试探究：当直线PC，PD的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由【查看答案】【答案】（1）y=4x（2）是定值，为-1,过程见解析【解析】（1）依题意，得|MA|=|MB|动点M的轨迹E是以A(1,0)为焦点，直线l：x=-1为准线的抛物线， 3分动点M的轨迹E的方程为y=4x（2）P (1,2)，C(x1,y1),D(x2,y2)在抛物线y=4x上，由-得，(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)，直线CD的斜率为， 设直PC的斜率为k，则PD的斜率为k，可设直线PC方程为y-2=k(x-1)，由得：ky2-4y-4k+8=0,由，求得，同理可求得直线CD的斜率为定值-14【2015青岛市自主练习】已知椭圆的右焦点为F(1,0)，且点在椭圆C上，O为坐标原点（）求椭圆C的标准方程；（）设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；（）过椭圆上异于其顶点的任一点P，作圆的两条切线，切点分别为M,N（M,N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为 m、n ，证明：为定值【查看答案】【解析】（）由题意得：c=1所以a=b+1又因为点在椭圆C上，所以，可解得a=4,b=3所以椭圆标准方程为（）设直线l方程为y=kx+2，设A(x1,y1),B(x2,y2)由得：(4k+3)x+16kx+4=0，因为=12k-30，所以，又，因为AOB为锐角，所以， 即x1x2+y1y20，所以x1x2+(kx1+2)(kx2+2)0，所以(1+k)x1x2+2k(x1x2)+40所以即，所以所以，解得或（）由题意：设点P(x1,y1),M(x2,y2) ,N(x3,y3)因为M,N不在坐标轴上，所以直线PM的方程为化简得：同理可得直线PN的方程为把 点的坐标代入、得所以直线MN的方程为，令y=0，得，令x=0得，所以，又点P在椭圆C1上，所以， 即为定值5【2015怀化市高三一模】已知圆F1:(x+1)2+y2=r2与圆F2:(x-1)2+y2=(4-r)2(0r4)的公共点的轨迹为曲线E,且曲线E与y轴的正半轴相交于点M若曲线E上相异两点A、B满足直线MA,MB的斜率之积为（）求E的方程；（）证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标；（）求ABM的面积的最大值【查看答案】【答案】（1），（2），（3）【解析】（）设F1，F2的公共点为Q,由已知得，|F1F2|=2,|QF1|=r,|QF2|=4-r，故|QF1|+|QF2|=4|F1F2|, 因此曲线E是长轴长2a=4焦距2c=2的椭圆，且b=a-c=3，所以曲线E的方程为；（）由曲线E的方程得，上顶点,记A（x1,y1）,B（x2,y2）由题意知，x10，x20若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x=x1，故y1=-y2，且，因此kMA.，与已知不符，因此直线AB的斜率存在，设直线AB:y=kx+m，代入椭圆E的方程得：(3+4k)x+8kmx+4(m-3)=0因为直线AB与曲线E有公共点A，B，所以方程有两个非零不等实根x1,x2，所以，又，由，得即所以化简得：，故或，结合知，即直线AB恒过定点（）由0且得：，又，当且仅当，即时，ABM的面积最大，最大值为1. 【2015高考新课标2，理20】已知椭圆C:9x+y=m(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M()证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（）若l过点，延长线段OM与V交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由【查看答案】【答案】()详见解析；（）能，【解析】()设直线l:y=kx+b(k0,b0)，将y=kx+b代入9x+y=m得(k+9)x+2kbx+b-m=0，故，于是直线OM的斜率，即kQMk=-9所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值（）四边形OAPB能为平行四边形因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3由()得OM的方程为设点P的横坐标为xP由得，即将点的坐标代入直线l的方程得，因此四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM于是解得，因为ki0,ki3，i=1，2，所以当l的斜率为时，四边形OAPB为平行四边形2. 【2015高考陕西，文20】如图，椭圆经过点A(0,-1)，且离心率为.(I)求椭圆E的方程；(II)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P,Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.【查看答案】【答案】(I)； (II)证明略，详见解析.【解析】(I)由题意知，综合a=b+c，解得，所以，椭圆的方程为.(II)由题设知，直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k2)，代入，得(1+2k)x-4k(k-1)x+2k(k-2)=0，由已知0，设P(x1,y1)，Q(x2,y2), x1x20则，从而直线AP与AQ的斜率之和=2k-(2k-1)=2.3. 给定椭圆，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为.（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（2）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1,l2交“准圆”于点M,N.（）当点P为“准圆”与 y轴正半轴的交点时，求直线l1,l2的方程并证明l1l2；（）求证：线段MN的长为定值.【查看答案】【解析】（1），b=1椭圆方程为，准圆方程为x+y=4（2）（）因为准圆x+y=4与y轴正半轴的交点为P(0,2)，设过点P(0,2)且与椭圆相切的直线为y=kx+2，所以由得.因为直线y=kx+2与椭圆相切，所以=144k-49(1+3k)=0，解得k=1，所以l1,l2方程为y=x+2,y=-x+2kl1kl2=-1，l1l2（）当直线l1,l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则，当时，l1与准圆交于点，此时l2为y=1（或y=-1），显然直线l1,l2垂直；同理可证当时，直线l1,l2垂直当l1,l2斜率存在时，设点P(x0,y0)，其中.设经过点P(x0,y0)与椭圆相切的直线为y=t(x-x0)+y0，所以由得(1+3t)x+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)-3=0.由=0化简整理得 (3-x02)t+2x0y0t+1-y02=0，因为x02+y02=4，所以有(3-x02)t+2x0y0t+(x02-3)=0.设l1,l2的斜率分别为t1,t2，因为l1,l2与椭圆相切，所以t1,t2满足上述方程(3-x02)t+2x0y0t+(x02-3)=0.所以t1t2=-1，即l1,l2垂直综合知：因为l1,l2经过点P(x0,y0)，又分别交其准圆于点M,N，且l1,l2垂直.所以线段MN为准圆x+y=4的直径，|MN|=4，所以线段MN的长为定值4【2015汕头市一模】椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率设动直线l:y=kx+m与椭圆E相切于点P且交直线x=2于点N，PF1F2的周长为（1）求椭圆E的方程；（2）求两焦点F1、F2到切线l的距离之积；（3）求证：以PN为直径的圆恒过点F2【查看答案】【答案】（1）；（2）D1D2=1【解析】（1）设F1(-c,0),F2(c,0)则，解得b=a-c=1，椭圆（2）由(1+2k)x+4kmx+2(m-1)=0设直线l与椭圆E相切于点P(x0,y0)则=0，化简2k+1=m焦点F1,F2到直线l的距离d1,d2分别为，则（3），又联立y=kx+m与x=2，得到N(2,2k+m)以PN为直径的圆恒过点F2.5【2015三明市高二期中】已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x=4y 的焦点，离心率（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点，设点M(m,0)是线段OF上的一个动点，且，求m的取值范围；（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由【查看答案】【答案】（1）；（2）；（3）在x轴上存在定点，使得C、B、N三点共线【解析】（1）设椭圆方程为，由题意b=1，又，a=5，故椭圆方程为 4分（2）由（1）得右焦点F(2,0)，则0m2，设l的方程为y=k(x-2)(k0)代入，得(5k+1)x-20kx+20k-5=0，=20(k+1)0，设A(x1,y1),B(x2,y2)则，且y1+y2=k(x1+x2-4)，y2-y1=k(x2-x1)，由，得，当时，有成立（3）在x轴上存在定点N，使得C、B、N三点共线依题意，直线BC的方程为，令y=0，则，点A,B在直线l:y=k(x-2)上， ， 在x轴上存在定点，使得C、B、N三点共线1. 【2015遵义市一模】已知F1(-1,0),F2(1,0),线段PF1=4，线段PF2的垂直平分线与PF1交于Q点.（1）求Q点的轨迹方程；（2）已知点 A（-2,0），过点F2且斜率为k（k0）的直线l与Q点的轨迹相交于E,F两点，直线AE，AF分别交直线x=3于点M,N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k.求证:kk为定值.【查看答案】【答案】（1）;（2）.【解析】（1）已知F1(-1,0),F2(1,0),PF1=4,PF2的垂直平分线与PF1交于Q点，由于PF1=PQ+QF1,PQ=QF2所以QF1+QF2=42，即Q点是以F1,F2为焦点的椭圆故所求Q点方程为.（2）设过点F2（1,0），且斜率为k（k0）的直线l方程为y=k(x-1)，设点E(x1,y1)，点F(x2,y2),将直线l方程y=k(x-1)代入椭圆，整理得：(4k+3)x-8kx+4k-12=0，因为点P在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，0恒成立，且.直线AE的方程为，直线AF的方程为，令x=3，得点，点，所以点P的坐标直线PF2的斜率为.将代入上式得，.所以kk为定值.2如图，已知抛物线C:x=4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）.(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l（不含x轴）与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|-|MN1|为定值，并求此定值.【查看答案】【答案】（1）详见解析，（2）8.【解析】（1）依题意可设AB方程为y=kx+2，代入x=4y，得x=4(kx+2)，即x-4kx-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有：x1x2=-8，直线AO的方程为；BD的方程为x=x2；解得交点D的坐标为，注意到x1x2=-8及x12=4y1，则有，因此D点在定直线y=-2(x0)上.（2）依题设，切线l的斜率存在且不等于零，设切线l的方程为y=ax+b(a0)，代入x=4y得x=4(ax+b)，即x-4ax-4b=0，由=0得(4a)+16b=0，化简整理得b=-a，故切线l的方程可写为y=ax-a，分别令y=2,y=-2得N1,N2的坐标为，则，即为定值8.3已知曲线T上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.（1）求曲线T的方程；（2）曲线T在点P处的切线l与x轴交于点A.直线Y=3分别与直线l及y轴交于点M,N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：