2018年通州区高三数学理一模考试试题及答案.doc

通州区20172018学年度高三一模考试数学（理）试卷 2018年4月 本试卷分第一部分和第二部分两部分，共150分考试时间长120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分 （选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知全集，集合，那么等于A B C D 2已知，满足那么的最小值是输入A. B. C. D. 是开始输出结束否3执行如右图所示的程序框图，若输出的值是， 则输入的值可以是A B C D4设，那么A B C D 5“,成立”是“”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6已知抛物线的准线与圆心为的圆交于，两点，那么等于A B C D7已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，且它的正视图如图所示，则该四棱锥侧视图的面积是 A B C D 8描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺. 起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底. 描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹. 现甲、乙两位工匠要完成，三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹. 每道工序所需的时间（单位：小时）如下： 原料 时间工序原料原料原料上漆91610描绘花纹15814则完成这三件原料的描金工作最少需要A小时 B小时 C小时 D小时第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上9已知复数是纯虚数，那么实数_.10若直线的参数方程为(为参数)，则点到直线的距离是_.11已知数列是等比数列，那么_；记数列的前项和为，则_.12位教师和名学生站成一排合影，要求位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为_（结果用数字表示）.13在中，角，的对边分别为，已知，下列判断： 若，则角有两个解； 若，则边上的高为； 不可能是. 其中判断正确的序号是_.14设函数，非空集合.中所有元素之和为_；若集合，且，则的值是_.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（本题满分13分）已知函数（）求的最小正周期；（）求在区间上的最大值和最小值 16（本题满分13分）作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目. 2017年12月25日发布的北京市通州区统计年鉴（2017）显示：2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9 亿元，比上年增长17.4，下面给出的是通州区2011-2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一.又根据通州区统计局2018年1月25日发布：2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长12.2. （）在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图；（）通过计算2011-2017这7年的平均增长率约为17.2，现从2011-2017这7年中随机选取2个年份，记为“选取的2个年份中，增长率高于17.2的年份个数”，求的分布列及数学期望；（）设2011-2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为，平均数为，比较与的大小（只需写出结论）.17（本题满分14分）如图所示的几何体中，平面平面,为等腰直角三角形， ，四边形为直角梯形，. （）求证：平面； （）求二面角的余弦值； （）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18（本题满分13分）已知函数,，（）当时，求证：；（）当时，求关于的方程的实根个数. 19（本题满分13分）已知椭圆的上、下顶点分别为，且，离心率为，为坐标原点.（）求椭圆的方程；（）设，是椭圆上的两个动点（不与，重合），且关于轴对称，分别是，的中点，直线与椭圆的另一个交点为. 求证：，三点共线.20（本题满分14分）已知数列，设，若数列为单调增数列或常数列时，则为凸数列. （）判断首项，公比，且的等比数列是否为凸数列，并说明理由；（）若为凸数列，求证：对任意的，且，均有，且； 其中表示，中较大的数；（）若为凸数列，且存在，使得，求证：.高三数学（理科）一模考试参考答案 2018.4一、选择题题号12345678答案B A CDBDC B二、填空题9 10. 11. 4，12. 13. 14. ，三、解答题15. 解：（）因为 4分所以的最小正周期 6分（）因为，所以. 所以当，即时，函数取得最大值 当，即时，函数取得最小值所以在区间上的最大值和最小值分别为和 13分16. 解：（） 4分（）依题意，的可能取值为，. 5分，. 8分所以的分布列为 9分 所以的数学期望 10分（）. 13分17. 解：（）因为，所以四边形是平行四边形. 所以因为平面，平面， 所以平面 4分（）取的中点为，因为，所以 因为平面平面,平面，所以平面 5分以点为坐标原点，分别以直线，为轴，轴建立空间直角坐标系，则轴在平面内 因为，所以，所以，. 7分设平面的法向量为，所以 即所以 令，则，. 所以. 8分设平面的法向量为，所以又因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值是 10分（）存在. 设点，所以，所以， ， . 所以点所以又平面的法向量为，平面，所以所以所以在线段上存在点，使平面，且的值是 14分18. 解：（）设函数当时，所以. 所以时，；时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，取得最小值. 所以，即 4分（）当时， 令，即，解得；令，即，解得所以在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得极小值，即. 6分令，则. 因为，所以. 所以在上单调递减. 所以. 所以. 又因为，所以在区间上存在一个零点. 所以在上存在唯一的零点. 10分又因为在区间上单调递减，且，所以在区间上存在唯一的零点. 12分所以函数有且仅有两个零点，即使成立的x的个数是两个. 13分19. 解：（）因为椭圆的焦点在轴上，离心率，所以 ， 所以由，得 所以椭圆的标准方程是 3分（）设点的坐标为，所以的坐标为.因为，分别是，的中点， 所以点的坐标为，点的坐标为. 4分所以直线的方程为. 6分代入椭圆方程中，整理得所以，或所以所以的坐标为. 10分所以 又所以，三点共线. 13分20.解：（）因为，所以 因为，公比，且， 所以，所以所以等比数列为凸数列. 3分（）因为数列为凸数列， 所以，叠加得.