结构力学课件第08章习题.ppt

第八章习题课第八章习题课 本章要求本章要求： 1、了解结构位移产生的原因、位移的种类、位移计算 的目的； 2、掌握单位荷载法求解结构位移的基本原理； 3、重点掌握图乘求解结构位移的方法图乘法； 4、了解广义单位荷载和广义单位位移的概念； 5、了解互等定理是超静定结构内力计算的基础。 1 本章的位移计算有两个方面： 一是：应用刚体虚功原理计算刚体体系的位移； 二是：应用刚体虚功原理与叠加原理计算变形体体系的 位移。 支座移动时静定结构的位移计算支座移动时静定结构的位移计算 计算步骤： (1) 沿拟求位移方向(双向)虚设相应的单位荷载P=1，并 求出P=1 作用下的支座反力。 (2) 令虚设单位力系P=1 在实际位移状态上做功，列出虚 功方程： 1 RKcK0 2 其中： 拟求位移，是广义位移； cK实际位移状态的支座沉陷量； 单位荷载下对应cK的支座反力。RK 是代数和， 乘积为两者方向一致时为正， 反之为负。 RKcK RKcK (3) 解出拟求位移：= - RKcK。 注意：当为正时，说明实际位移方向与P=1 指向相同 ，为负时则相反。 变形体系的位移计算变形体系的位移计算 M() KK l cRdsNQ -+ gk 0 一般公式 荷载作用下的位移计算公式(只考虑荷载作用) 3 MNQ + + =ds GA Qk ds EA N ds EI M PPP 图乘法公式 M EI y dx EI M K0 = 图乘技巧与特殊问题的处理 1、若两个互乘的图形都是直线图，则标距y0 可取自任一 图。 2、若一个图形是曲线图，另一个图形是折线图，则分 段计算(以折点为分段点)。 4 3、若两个图形都是梯形，可以不求梯形面积的形心， 而把一个梯形分为两个三角形或一个矩形和一个三角形，分 别应用图乘法。 4、若直线图中具有正负号部分时，图乘时可将其中一个 图形看作两个底相同、高分别为a、b的三角形。 5、当MK图为叠加图时，图乘时可以分解分别图乘，但 需注意、y0 的异同侧(叠加时的新基线)。 6、若图乘计算时，积分杆件具有突变截面，则应分段图 乘计算。此时，注意各段抗弯刚度EI的值。 7、若杆件为小曲率曲杆时，也可以使用图乘法。 5 (a) ab C (l+a)/3(l+b)/3 l h 2 lh 三角形= 3 2lh 二次抛物线= (b) 顶点 l/2l/2 h C (c) C 顶点 h l 5l/83l/8 3 2lh 二次抛物线= 3 lh 二次抛物线= l 3l/4l/4 (d) 顶点 h C 必需记住：必需记住：下面四种常见图形的形心和形心位置图下面四种常见图形的形心和形心位置图 6 2m2m1m 1m 10kN D CB A 题8-1图 10kN XA XA虚位移图 10kN d 1 2 YA YA虚位移图 10kN YB d 1 2 YB虚位移图 10kN ME d 2 1 ME虚位移图 10kN QE QE 1 2 QE虚位移图 d 8 8- -1 1用刚体体系的虚功原理求用刚体体系的虚功原理求X X A A 、Y Y A A 、Y Y B B 、MM E E 、Q Q E E 。 7 XA虚位移如图所示。由虚功原理有： 故 。 YA虚位移如图。 ， ，由虚功原理有： ，故 。 YB虚位移如图。 ， ，由虚功原理有： ，故 。 QE虚位移如图。 ， ，由虚功原理有： ，故 (与假设方向相反)。 ME虚位移如图。 ， ，由虚功原理有： ，故 。 010=- A X )(10=kNX A d =1 d4 2 = 010 21 =- A Y)(5 . 2=kNYA d =1d4 2 = 010 12 =- A Y)(5 . 2=kNYB d=1d4 2 = 010 21 =+ E QkNQE5 . 2-= d=1d2 2 = 010 21 =- E M )(5mkNME= 8 3a a a A K H V j y x 题8-3图 RAX 1 MA RAY (a) RAX 1 MA RAY (b) RAX 1 MA RAY (c) 8-3 设支座A有给定位移 、 、 ，试求K点的竖向位 移 、水平位移 和转角 。 x y j V H 9 (c)求 。虚设力系如图(c)，由平衡关系可求得： RAX=0，RAY=0，MA=-1。 解：(a)求 。虚设力系如图(a)，由平衡关系可求得： RAX=0，RAY=-1，MA=-3a V R )(3 )( +-= -= -= j j a MR c y AyAY KKV (b)求 。虚设力系如图(b)，由平衡关系可求得： RAX=1，RAY=0，MA=-a。 H R )( )( += -= -= j j a MR c x AxAX KKH 由虚功方程有： 由虚功方程有： R)( jj =-=-= AKK Mc 由虚功方程有： 10 8-6 柱AB由于材料收缩，产生应变 ，求B点的水平位移。 1 - a 2a A B CC1 B1 题8-6图 虚设力系图 1 A B C -2 解：虚设力系如图所示，可求得：NAB=-2，由虚功原理有 ： NN)(4)()2( 1 2 0 2 0 =-= 1adsdsds aa 11 8-7 设由于温度升高，杆AC伸长AC=1mm，杆CB伸长 CB=1.2mm，求C点的竖向位移。 2m2m 2m A B C D mm AC 1=mm BC 2 . 1= 题8-7图 A B C D 1 虚设力系图 解：虚设力系如图所示，可求得： ，由虚功原 理有： NN5 . 0-= CBAC NNN )(1 . 1 2000 2000 2 . 1 )5 . 0(2000 2000 1 5 . 0 2 0 2 0 -= -+-= += mm dsdsds CBCBACAC 12 k k=1.2=1.2， 。 8 8- -10 10 求图示简支梁中点求图示简支梁中点C C的竖向位移的竖向位移 ，并将剪力和弯矩对并将剪力和弯矩对 E E, , G G 8 8 3 3 = = 1010 1 1 = = l l h h 位移的影响加以比较。设截面为矩形，位移的影响加以比较。设截面为矩形，h h为截面高度，为截面高度， l/2l/2 A B q C 题8-10图 1 C A B 虚设力系图 M图 1 4 l Q图 1 2 1 2 1 QP图 2 ql 2 ql MP图 8 2 ql 13 解 ： M )( 8384 5 ) 2 1 222 1 ( 2 ) 48 5 823 2 ( 2 24 2 11 += += += GA kql EI ql lql GA klqll EI ds GA QkQ ds EI M PP 当 时 ， 10 1 = l h %56. 2 = M Q EI hql GA kql Q 308 222 = EI ql M 384 5 4 =即 ： I 12 2 Ah = 12 3 bh = 14 8-11 求结点C的竖向位移C ，设各杆的EA相等。 解： 22 N )( 828 . 6 2) 1()( 1 )71 . 0 ()(25 . 0 2 = -+-+= = EA Pd dP EA dPdP EA EA lNP C AB C D E 1 -1 0.50.5 -0.710.710.71-0.71 N图 dddd d PP AB C D E 题8-11图（NP） 00 PP -P 2P- 2P- 15 8 8- -14 14 求等截面圆弧曲杆求等截面圆弧曲杆A A点的竖向移点的竖向移 V V 和水平位移和水平位移 H H。 。设设 圆弧圆弧ABAB为为 个圆周，半径为个圆周，半径为R R。 4 1 )( 2 )cos1 (sin 3 2 0 = - = EI PR Rd EI RRP H p R M图 1 1 R R P A B 90 题8-14图 (MP) PR R M 图 2 1 R )( 4 Rsinsin 3 2 0 = = EI PR Rd EI RP V p p 解 ： 16 40 80 120 40 图 P M 10 10 2m4m4m2m ABC 虚设力系图 1 D 2m4m4m2m ABC m kN/ 20m kN/ 20 kN40kN40 题8-21图 D 2 1 M图 1 解：应用图乘法求解。 665544332211 yyyyyyyi i -+-= 8 8- -21 21 求求C C点的挠度。已知：点的挠度。已知： 2 2 8 8 1010 2 2 cmcmkNkNEIEI = = 。 17 其中： 点以左的三角形面积，图中为DM1 2 1 241 1 = = 图中相应的竖距；为 P M 3 120 80 3 2 -=- y40 3 1 1 = 点以左的全抛物线面积，图中 为 D MP 3 320 440 3 2 2 = 图中相应的竖距； 为M 12 2 1 y = 点以右的下三角形面积，图中为DM1 3 241 2 1 = 图中相应的竖距；为 P M 3 40 80 3 2 -=- y120 3 1 3 = 点以右的上三角形面积， 图中为 D M1 4 442 2 1 = 图中为 P My 3 160 80 3 1 120 3 2 4 =-= 相应的竖距； 点右侧的三角形面 图中B MP为 2 1201202 1 5 = 18 积，图中相应的竖距； 为M 1 5 3 4 2 3 2 y= 点右侧的抛物线面积，图中 为 B MP 3 40 102 3 2 6 = 图中相应的竖距。 为M 16 12 2 1 y= 所以有 M )(0 . 101 . 0 200 1 3 40 3 4 120 3 160 4) 3 40 (2 2 1 3 320 ) 3 120 (2 1 11 = -+-+-= = cmm EI EI y EI dxM EI iiPC 8 8- -24 24 求图示三铰刚架求图示三铰刚架E E点的水平位移和截面点的水平位移和截面B B的转角，设各的转角，设各 杆杆EIEI等于常数。等于常数。 19 6m6m 6m AB CD E q 题8-24图 9q 9q 9q 9q q 2 9 图 P M M图 1 13 3 3 3 11 0.5 0.5 0.5 0.5 M 图 2 20 解：应用图乘法求解。 M )( 243 ) 2 3 2 9 6 3 2 3 3 2 96 2 1 4( 1 1 EI q qq EI dx EI M P E =+= = M )( 2 99 ) 2 1 3 2 1 3 1 (96 2 1 2 1 3 2 96 2 1 3 1 2 EI q q q EI dx EI M P B =+ = 2 9 6 3 2 q 4 1 + 8 8- -28 28 在简支梁两端作用一对力偶在简支梁两端作用一对力偶MM，同时梁上边温度升高同时梁上边温度升高 ，下边温度下降，下边温度下降 ，求端点的转角，求端点的转角 。如果。如果 =0=0，力偶力偶MM应是多应是多 少？设梁为矩形截面，截面尺寸为少？设梁为矩形截面，截面尺寸为b b h h。 0 0 1 1 t t 0 0 1 1 t t 21 l M M +t1 -t1 h b 题8-28图 M 图 P M 1 M图 1 1 h EIt M h l t EI Ml 11 2 ，0 2 ，0 aa =-= 即则有若 M M )( 22 12 ) 1 2 ( 1 11 h l t EI Ml l h tl M EI ds h t ds EI MP aa a -= -= += 1 0 112 2tttt-=-= 12 0 2 tt t 0= + = 解： 22 8 8- -3232图框形刚架，在顶部横梁中点被切开，求切口处两侧图框形刚架，在顶部横梁中点被切开，求切口处两侧 截面截面A A与与B B的竖向相对位移的竖向相对位移 1 1 ，水平相对位移水平相对位移 2 2 和相对转角和相对转角 3 3 。设各杆设各杆EIEI等于常数。等于常数。 解：由于 图对称，而 图反对称，所以有 P MM1 0 1 = 题8-32图 l l qq q q q BA 图 P M 8 2 ql 8 2 ql 8 5 2 ql 8 5 2 ql 8 2 ql 8 2 ql 8 2 ql 23 M2 2 = )(917. 0)( 12 11 44 = EI ql EI ql ) 83 2 8 5 ( 1 22 -+l