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文档简介

一、一、 交错级数及其敛散性交错级数及其敛散性 交错级数是各项正负相间的一种级数，它的 一般形式为 或 其中，un0 (n=1, 2, ) 定理定理(莱布尼兹判别法) 若交错级数 满足条件 (1) (2) unun+1 (n=1, 2, ) 则交错级数收敛，且其和S的值小于u1. (级数收敛的必要条件) 证证 只需证明级数部分和Sn当n时的极限存在. 1) 取交错级前2m项之和 由条件(2)： unun+1，un0, 得S2m以及 由极限存在准则： 2) 取交错级数的前2m+1项之和 由条件1): 综上所述，有 例1. 讨论级数的敛散性. 解：这是一个交错级数， 又 由莱布尼兹判别法，该级数是收敛. 例2. 判别级数的敛散性. 解：这是一个交错级数， 又 令x2, +)，则 x2, +)， 故 f (x) 2, +)，即有unun+1成立，由莱布尼兹判 别法，该级数收敛. 解 原级数收敛. 二、二、 任意项级数及其敛散性任意项级数及其敛散性 (1) 级数的绝对收敛和条件收敛 定义定义：若级数 对收敛的；若级数但级数 定理：定理：若 (即绝对收敛的级数必定收敛) 证： un |un| 从而 上定理的作用： 任意项级数正项级数 解 故由定理知原级数绝对收敛. 定理定理 (达朗贝尔判别法) 设有级数 若 (1) 1 (包括= )时，级数发散； (3) =1时，不能由此断定级数的敛散性. 例5. 判别级数的敛散性. 解： 由P一级数的敛散性， 即原级数绝对收敛. 例6. 判别的敛散性，其中，x1为常数. 解：记 当|x|1时，=1, 此时不能判断其敛散性. 由达朗贝尔判别法： 但|x|1时， 从而，原级数发散. 例6. 级数是否绝对收敛? 解： 由调和级数的发散性可知， 故发散. 但原级数是一个收敛的交错级数： 故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的. (2) 绝对收敛级数的性质 性质性质1 1. 任意交换绝对敛级数中各项的位置，其 敛散性不变，其和也不变. 性质性质2. 2. 两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对 收敛的级数，且其和等于原来两个级数的和之积. 小结
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