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第三节 绝对收敛与条件收敛 一.交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件: 则级数收敛 , 且其和 其余项满足 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 是单调递增有界数列, 又 故级数收敛于S, 且 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛 收敛 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 发散收敛收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、绝对收敛与条件收敛 定义: 对任意项级数若 若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 收敛 , 数 为条件收敛 . 均为绝对收敛. 例如 ： 绝对收敛 ； 则称原级 数 条件收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 . 证: 设 根据比较审敛法 显然 收敛, 收敛 也收敛 且 收敛 , 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 证明下列级数绝对收敛 : 证: (1) 而收敛 , 收敛 因此绝对收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 判定级数绝对 收敛其实就是 判定正项级数 的收敛. (2) 令 因此收敛,绝对收敛. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其和分别为 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和 . ( P203 定理9 ) 说明: 证明参考 P203P206, 这里从略. *定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 ) 则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数 也绝对收敛, 设级数与都绝对收敛, 其和为 但需注意条件收敛级数不具有这两条性质. (P205 定理10) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 补充 . 则级数 (A) 发散 ; (B) 绝对收敛; (C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定. 分析: (B) 错 ; 又 C 机动 目
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