工程力学第13章(应力状态分析).ppt

第十三章 应力状态分析 13-1 引言 一、应力状态的概念 1. 点的应力状态 过受力构件内一点所作各截面上的应力情况， 即过受力构件内一点所有方位面上的应力总体。 2. 一点应力状态的描述 以该点为中心取无限小正六面体（单元体）为 研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描 述一点应力状态。 单元体三对面的应力已 知，单元体平衡 单元体任意部分平衡 由截面法和平衡条件可 求得任意方位面上的应力， 即点在任意方位的应力。 二、应力状态的分类 1.主平面 单元体上无切应力的平面。 2.主应力 作用在主平面上的正应力。 3.应力状态的分类 任何点的应力状态总可找到三对互相垂直的主 平面构成的六面体，作用三对主应力，且有： （按代数值大小排序） 三向应力状态 三个主应力都不等于零。 二向应力状态 两个主应力不等于零。 单向应力状态 只一个主应力不等于零。 13-2 平面应力状态应力分 析的解析法 一、任意斜截面上的正应力和切应力 平面应力状态下任意斜截面上应力表达式 正应力：拉应力为正，压应力为负；切应力：对单元体 内任意点的矩顺时针为正，反之为负。 斜截面角度：从x 轴正向转到斜截面外法线所转过的角度 ，逆时针转为正，顺时针转为负。 x 、x 是法线与x 轴平行的面上的正应力与切应力，即 x 面上的正应力与切应力；y 、y 是法线与y 轴平行的面上的正 应力与切应力，即y 面上的正应力与切应力。 例：矩形截面简支梁在跨中作用集中力F。已知F =100kN，l = 2m ，b = 200mm ，h = 600mm ， =40o，求离支座l /4 处截面C 点在斜截面n-n上的应力。 解： 求C 点所在截面的剪力、弯矩 求C 点在横截面上的正应力、切应力 作出C 点的应力状态图 二、主应力及主平面位置 求与z 轴平行所有截面上的最大（小）正应力及方位 解得： 代入平面应力状态下任意斜截面上正应力表达式，得： 可确定两个相互垂直 的截面 即max 、min 作用面上 = 0，即0截面为主平面，max、 min为主应力。 即max 、min 作用面是互相垂直的面，为0截面和 0+90o截面。 1. 2. 3. max作用面方位角度0 即对于同一点互相垂直面上的正应力之和是常量。 4. 三、最大切应力及其作用平面的位置 求与z 轴平行所有截面上的最大切应力及方位 解得： 代入平面应力状态下任意斜截面上切应力表达式 可确定两个相互垂直 的截面 即max 、min 作用面是互相垂直的面，为1截面和 1+90o截面，且1=0+45o 。 即max 、min作用面上 3. 1. 2. 例：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的 破坏现象。 解：圆轴扭转时横截面边缘处切应力最大 作应力状态图 圆轴扭转时表面各点max所在平面连成倾角为45o的螺旋面 ，由于铸铁抗拉强度低，所以试件沿此螺旋面断裂破坏。 例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知圆筒的 平均直径d = 50mm，壁厚t = 2mm，外力偶M = 600Nm，拉力 F = 20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP= d2t / 2。试 用解析法求过点D 指定斜截面上的应力、点的主应力和主方向 及最大切应力。 解： 求D 点在横截面上的正应力、切应力 作出D点的应力状态图 求D 点的主应力和主方向及最大切应力 主应力作用面的方位角 D 点最大切应力 13-3 平面应力状态应力分 析的图解法 一、应力圆方程 应力圆上一点坐标对应单元体某斜截面的应力值， 所有斜截面的应力值对应一个确定的应力圆。 以 、为横、纵坐标轴，则上式表示以 为圆心， 为半径的应力圆。 二、应力圆的作法 建立-坐标系 连接DE与横坐标轴交 于C 点，以点C 为圆心、 CD半径作圆 在-坐标系中找到 D(x ,x )和E(y ,y )两点 三、应力圆的应用 1. 确定单元体斜截面上的应力 以CD为基线，沿与角转向相同方向转2到新 半径CH，则H 点坐标表示截面的、 。 H点横坐标 H点纵坐标 2.确定主应力的大小及主平面的方位 A、B点对应的横坐标分别表示对应主平面上的主应力。 A、B点对应正应力的极值 max作用面方位角度0 CA、CB夹角为180o，所以两主平面的夹角为90o。 3.确定最大切应力的大小及作用平面的位置 K、J点对应的纵坐标表示最大、最小切应力。 最大（小）切应力 CK、CJ夹角为180o，所以max 、min作用面的 夹角为90o；同时max作用面的外法线可由1作用面的 外法线逆时针转45o 得到。 由应力圆可知 应力圆单元体 夹角两倍 转向相同 点面对应 例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知圆筒的 平均直径d = 50mm，壁厚t = 2mm，外力偶M = 600Nm，拉力 F = 20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP= d2t / 2。试 用图解法求过点D 指定斜截面上的应力、点的主应力和主方向 及最大切应力。 解： 求D 点在横截面上的正应力、切应力 作出D点的应力状态图 作应力圆，将ca 沿逆时针转240o 得d 点（或将cb 沿逆时针转 60o 得d 点），该点坐标为所求截面的应力 由应力圆可得 由应力圆可得 ca 到1 对应点逆时针转过67.5o ca 到3 对应点顺时针转过112.5o 13-4 复杂应力状态的最大应力 一、三向应力圆 单元体作用三个主应力 平行于主应力1 方向的任意斜面 I 上的正应力和切应力 与1无关，可由应力圆 I 表示。 同理：平行于主应力2和3方向的任意斜面 II 和 III 上 的正应力和切应力分别与2和3无关，可分别由应力圆 II 和 III 表示。 三向应力状态中空间 任意方向面上的正应力和 切应力对应于应力圆I、II 、III所围阴影区域内某一 点的坐标值。 二、最大应力 1.三向应力状态中最大（小）正应力 2.三向应力状态中最大切应力 最大切应力所在斜 截面平行于2 ，其外 法线与1 所在的平面 的外法线成45o。 例：求图示应力状态的主应力及最大切应力。 解：由题可得 （主应力） 主应力 最大切应力 13-5 广义胡克定律 一点应力状态由三个正应力和三个切应力分量表 示。对于各向同性材料，当变形很小且在线弹性范围 内时，正应变只与正应力有关，切应变只与切应力有 关。 x 、y 、 z同时作用，根据叠加原理得广义胡克定律 x 单独作用 y 单独作用 z 单独作用 主应变 例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知材料的 弹性模量E = 210GPa ，泊松比= 0.25