结构力学(ch6位移法.ppt

第 六 章 位 移 法 Displacement method 主 要 内 容 61 位移法的基本概念 62 单杆分析固端弯矩和刚度方程 63 位移法正则方程及其矩阵形式 64 位移法计算结构在荷载作用下的内力 67 对称结构的计算 65 位移法计算超静定结构在非荷载作用 下的内力 66 降低动不定次数新单元的引入 68 位移法与力法的比较 6-1 6-1 位移法基本概念位移法基本概念 位移法 displacement method 以超静定结构中的结点位移（线位移或角位移） 作为基本未知量，根据结点的平衡条件建立位 移正则方程，解出基本未知量后即可由结点位 移与内力的关系式求出相应的杆内力，并用平 衡方程解出全部支反力和内力。 一、力法和位移法的区别 1. 所选用的基本未知量不同，因而主攻目标不同，解决 问题的思路也不同 力 法： 原结构静定基 多余未知力 基本未知量 原结构 过渡 位移法： 原结构杆件 结点位移 基本未知量 原结构 过渡 2. 出发点不同 力法： 位移法： 静定结构 杆件 3. 力法只适用解超静定结构 位移法主要用于解超静定结构，但也可解静定结构 4. 位移法可采用标准化程序 基本假设：忽略杆件轴向变形的影响。 A BC l l 图a 原结构 P 1 1 B C 图b P 1 A B 1 图c 二、位移法的基本思路 1基本未知量 为将AB和BC杆分开计算 B点 刚结 添加附加 刚臂约束 固定端 原结构 AB和BC两根两端 固定梁的组合体 动定基本体系，即动定基。 利用叠加原理：荷载位移1 即：可把动定基拆开成两根两端固定的超静定梁分别计算，然 后根据一定的条件（即使附加刚臂形同虚设）组合起来代替原 结构. 结点B的力 矩平衡条件 位移法典型方程(canonical equations in displacement method) 拆 结构拆成杆件，得杆件的刚度方程 （变形协调条件） 搭杆件组成结构，进行整体分析，得出 基本方程 （静力平衡条件） 位移法求解超静定结构需解决以下问题： 1.位移法的基本未知量包括哪些位移？动定基如何选取？ 2.两端固定的超静定梁在荷载和支座位移作用下的力法计算 单杆分析？ 3.如何建立位移法正则方程？ 1、基本未知量 (primary unknown in displacement method) (结点的角位移和线位移 ) 二、位移法的基本概念 结点指结构中两根或两根以上的直杆件的联结点、 结构的支承点以及任何伸出杆件的自由端。 结构上各个结点独立位移的总数称为结构的动不定度或 动不定次数（结点位移自由度） 既无线位移又无角位移的结点称为动定结点。如固定端结点 结点位移 A BC D B C B C 1）、在刚结点处加上刚臂。 2）、在结点会发生线位移的方向上加上链杆。 将可能产生的结点线位移和角位移都加入人为约束 ，使之成为动不定度为零的结构，即“动定基本结构 ”，简称“动定基”。 动定基是原结构化成的、由若干超静定梁构成的组合体。 两端固定的超静定梁动定基的基本单元类型 (带有附加刚臂( )或附加链杆)动定基 2、基本体系(primary system in displacement method) 附加刚臂与附加链杆数目的总和即为基本未知量数目。 3、动不定次数的确定 将动不定结构变为动定结构使其变为几何不变所需添加的 约束数即为动不定次数。 平面刚架 独立角位移动不定度刚结点数铰端数自由端数 独立线位移将所有刚结点（固定支座和自由端）铰 化，使之成为几何不变体系所需添加的 链杆数。 铰化 添加链杆 连续梁动不定度的确定可参照平面刚架。 如何确定基本未知量举例： 动不定度使原结构变成相应动定基所需施加的附加约束数 桁架: 线位移自由度2j-b 3角1线4角2线 4角2线 2角1线3角2线 4角2线 6-2 单杆分析固端弯矩和刚度方程 一、杆端力的表示方法和正负号的规定 1、弯矩：MAB表示AB杆A端的弯矩。对杆端而言 ，顺时针为正，逆时针为负；对结点而言，顺时针为负， 逆时针为正。 P B A MAB0MBA0 2、剪力：QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同前。 P B A QBA0QAB0 3、固端弯矩(fixed-end moment)、固端剪力(fixed-end shear force) - 单跨超静定梁仅由于荷载作用所产生的杆端弯矩称为固端 弯矩，相应的剪力称为固端剪力。用MAB、MBA、QAB、QBA表示 二、两端固定梁在跨间荷载作用下的固端弯矩(fixed-end moment) BA P l MAB MBA R R BA q l RR MAB MBA R=P/2 M=Pl/8 R=ql/2 M=ql2/8 载常数 f QBA QAB P q A B AB l B A MAB MBA 三、两端固定梁由于支座位移引起的杆端反力梁元刚度方程 刚度(stiffness)-两端固定梁由于 杆端单位位移所引起的杆端反力 AB X1 X2 X3X4 如图示:支座位移A, B, A, B 解：2次超静定，静定基如图所示 力法方程： x1=1 l Ml图 x2=1 M2图 l 计算系数和自由项 l 称为“旋转角”，则： AB D =记b 解得： 称为“线刚度”,则：令 l EI i = 其矩阵形式为： 即 梁元的刚度方程 描述了梁 元的杆端力和 杆端位移之间 的关系 式中： 梁元刚度矩阵 对称矩阵 kij由于“j”处的单位位移所引起的“i”处的杆端反力 “形常数” BA l 1 2 34 人 BA l 1 2 34 人 杆端位移及相应反力序号规定： 四、一端固定、另一端铰支梁元的刚度方程 五、一端固定、另一端定向支承梁的刚度方程 2、荷载引起的固端力 p401 6-3 6-3 位移法正则方程及其矩阵形式 基本未知量符号的规定： + 一、 位移法的基本原理 A BC l l 图a 原结构 P 1 1 A BC l l 图b 动静基 A B C 图d 位移作用动定基 1 1 K111 A B C 图e 1=1作用静定基 1 1 1 A B C l l 图c 荷载作用动定基 P m1P 所以： K111 +m1P=0 A BC l l 图a 原结构 P 1 1 A B C 图d 位移作用动定基 1 1 K111 A B C l l 图c 荷载作用动定基 P m1P ( ) ( ) K11-结点B的刚度 K11代表了由于结点发生单位转角 位移而引起的结点反力距值。它 等于汇交于该结点的各杆端反力 距之和。故称“结点刚度”。 Kij-由于“j” 的单位位移所引起的“i” 的反力. 单元 刚度 A B C 图e 1=1作用静定基 1 1 1 位移法正则方程 结点B的力矩平衡方程 解得： ( ) 然后利用单元刚度方程即可求得原结构各杆端弯矩，从而 作出原结构的M图。进而作Q图和N图。 也可利用叠加原理计算原结构未知反力和内力： 其中： 分别为动定基在单位位移状态下的弯矩、剪力值 分别为动定基在荷载状态下的弯矩、剪力值 载常 数 形常数 ( ) ( ) ( ) 位移法的基本特点：以未知结点位移作为基本未知量 基本做法：先拆后搭 拆 施加与结点未知位移相应的 附加约束（刚臂或链杆） 结构拆成若干单根 杆件（梁单元） 搭 原结构动定基 附加约束处静 力平衡条件 3=1 (f) 时的反力矩和反力 3=1 2=1 (e) 时的反力矩和反力 2=1 (d) 时的反力矩和反力 1=1 二、多次动不定结构的位移法正则方程及其矩阵形式 1 2 3 (a) 原结构(b) 动静基 m2p m3p m1p (c) 荷载单独作用 k11 k21 k31 1=1 k12 k22 k32 k13 k23 k33 由叠加原理，其位移法方程为： K111 + K122 K133 m1P=0 K211 + K222 K233 m2P=0 K311 + K322 K333 m3P=0 结点的力矩 平衡条件 力的平 衡条件 其实质：附加约束方向上的静力平衡方程。 注意：若结点上有外荷载，则在建立位移法方程时应予以考 虑，根据符号规定，可将其放在相应方程的右端项中。 Kij ： 根据梁元刚度矩阵元素叠加可得 mip ： 查载常数可得。 利用内力叠加公式求结构支反力（力矩）、内力及绘内力图 MP、QP、 动定基在荷载下的杆端弯矩、杆端剪力、支反力 Mi、Qi、i 动定基在各单位位移下的杆端弯矩、杆端剪力、支反力 推广：n次动不定结构的位移法正则方程为： Kij 结点刚度 mip 动定基在荷载下的固端弯矩（剪力），称为自由项。 K111 + K122 K1nn m1P=m1 K211 + K222 K2nn m2P=m2 Kn11 + Kn22 Kn3n mnP=mn mi 作用于结点（结构）上与i方向相应的外荷载（力矩或 力），称为右端项。其方向按假设i的正向为基准 其矩阵形式为： 即： 结构刚度矩阵，其中Kij为各结点的刚度. 位移法典型方程 (canonical equations in displacement method) 结结构的刚刚度矩阵阵 (stiffness matrix) 固端反力列向量. 结点外荷载列向量. 解得： 利用叠加原理求M、Q、R 三、几点说明 （1）主系数、副系数、刚度系数、自由项。 （2）两类系数：附加刚臂上的反弯矩；附加链杆上的反力。 （3）位移法的实质：以结点未知位移表示的静力平衡条件。 四、解题步骤 (1) 分析结构的结点自由度，即确定位移法基本未知量1、 2 n （2）将可能产生位移的结点施以相应的约束，得到由若干 两端固定的超静定梁组合而成的动定基； （3）列位移法正则方程； （a）载常数表mip，处理作用于各杆的跨中荷载; （b）形常数表kij 从而求结点刚度Kij （c）建立方程的右端项mi 处理与未知结点位移相应的 结点外荷载; （4）解位移法方程； （5）根据M=M1X1+M2X2+MP绘弯矩图，进而绘剪力图、轴力图。 64 位移法计算结构在荷载作用下的内力 例1、求图示连续梁的内力并作出M图。 q C ll B B B A a 原结构 C B B B A b 动定基 1 q 2 解：1).此梁为二次动不定结构， 取结点B、C的转角位移为基本未知 量1、2，得动定基如图（b)示： 2）列位移法正则方程 K111 + K122 m1P=m1 K211 + K222 m2P=m2 3) 求载常数miP 4) 求结点刚度Kij ql 2/8 C A B 2 2 ql/12 Mp图 ql2/12 A C B M1图 2EI/l 4EI/l 1= 1 2EI/l 5) 求右端项mi-考虑与i相应的结点外荷载，以顺时针为正 C B B B A b 动定基 1 q 2 6) 代入正则方程，解之得： （ ） （ ） 7) 求内力: ( ) ( ) 绘弯矩图如图(e)所示 C B A e M图 2 ql/8 ql/28 ql/14 2 2 C B A (f) Q图 4ql/7 3ql/7 3ql/28 依内力图求支座反力: MA=ql/28 ( ); VA=3ql/28 ( ); VB=19ql/28 ( ) ; VC=3ql/7( ) 2 同理： 绘剪力图如图(f)所示: 例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。 1 A D 3EI 20kN/m E B C 2m 4m (a ) 原结构 2m 4m 3EI 4EI4EI P=50kN (b) 动定基 A DE BC 1 2 解： 1).此刚架为二次动不定结构， 取结点A、B的转角位移为基本未知 量1、2，得动定基如图（b)示： 2）列位移法正则方程 K111 + K122 m1P=0 K211 + K222 m2P=0 3) 求载常数miP 4) 求结点刚度Kij 5) 代入正则方程，解之得： 6) 求内力: ( ) 7EI1 + 2EI2-80/3=0 2EI1 + 11EI2 5/3=0 （ ） （ ） 根据 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7) 作弯矩图,如图（c）所示 (c) M图(kN.m) A DE BC 6.09 12.18 31.23 28.56 23.22 1.34 由结点B处的弯矩值校核 思考：此结构若用力法计算 六次超静定结构 ? 位移法计算基本步骤 1）确定超静定次数，解除多 余约束代以多余约束力，得静 定基 2）建立力法方程 4）求解力法方程，得基本未知量 5）根据叠加原理作内力图，并校核 3）作 图和 图， 计算 柔度系数 和自由项 力法计算基本步骤 1）确定基本未知量，添加约 束，得动定基 2）建立位移法方程 3）计算刚度系数和自由项 4）求解位移法方程，得基本未知量 5）根据叠加原理作内力图，并校核 比较： 例题3 试计算图示刚架，绘M图、Q图、N图。 A D EI 10kN/m B (a ) 原结构 8m EI 2EI 6m C (b) 动定基 AD BC 1 2 3 解：1).此刚架为三次动不定结构， 取结点B、C的转角位移和BC杆的水 平线位移为基本未知量1、2 、3 ，得动定基如图（b)示： 2）列位移法正则方程 K111 + K122 + K133 m1P=0 K211 + K222 + K233 m2P=0 3) 求载常数miP和结点刚度Kij K311 + K322 + K333 m3P=0 (b) 动定基 AD BC 1 2 3 4) 代入正则方程，解之得： （ ） （ ） ( ) 5) 求内力 ( ) 根据 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6) 作M图（略） (b) 动定基 AD BC 1 2 3 课堂练习: 求图示梁的弯矩图。 ? 解： 1、基本未知量 2、求各杆端弯矩 求固端弯矩、 线刚度计算 3、建位移法方程 4、求基本未知量 5、求杆端弯矩 6-5 位移法计算超静定结构在 非荷载作用下的内力 K111 + K122 K1nn m1P m1c m1t =0 K211 + K222 K2nn m2P m2c m2t =0 Kn11 + Kn22 Kn3n mnP mnc mnt =0 问题归结为：求mic 和mit 与力法类似 支座位移、温度改变等非荷载因素下： 例： 图示刚架的A支座下沉a，试用 位移法计算并绘其内力图。 超静定结构在支座位移(移动或转动)影响下一般 会引起内力。用位移法计算时,基本未知量和基本方程 以及作题步骤都与荷载作用时一样, 不同的只有固端力 一项，例如由荷载产生的固端弯矩改变成由已知位移 产生的固端弯矩，具体计算通过下面的例题来说明。 一、支座位移时超静定结构的位移法计算 (a) 原结构 l l 解：1) 此刚架为二次动不定结构， 取结点B、C的转角位移为基本未知 量1、2 ，得动定基如图（b)示： 2）列位移法正则方程 K111 + K122 m1C=0 K211 + K222 m2C=0 (b) 动定基 1 2 3) 求miC和结点刚度Kij 4) 代入方程得 解得 ( ) ( ) (b) 动定基 1 2 5) 求杆端弯矩 ( ) 根据 ( ) ( ) 6) 剪力图和轴力 ( ) ( ) ( ) ( ) 课堂练习： 图示刚架的A支座产生了水平位移a、竖向位移 b=4a及转角，试绘其弯矩图。 刚架的最后弯矩图为 6-6 降低动不定次数新单元的引入 一、概述 两端固定梁增加结构动不定度 二、一端固定、另一端铰支的梁元刚度方程形常数的计算 AB X1 X20 X3X4 x1=1 l Ml图 力法方程 解：一次超静定结构 解 得 利用平衡可求得 即： 其矩阵形式为 型梁元的刚度方程 描述了 型梁元的杆端 力和杆端位移 之间的关系 式中： 型梁元 刚度矩阵 对称矩阵 kij由于“j”处的单位位移所引起的“i”处的杆端反力 “形常数” 即 12 34 1 2 3 4 杆端位移及相应反力序号规定： 此外， 12 34 人 12 34 人 q C ll B B B A (a)原结构： 1 C B B B A (c) k11 C B A (d) qm1P C B B B A (b)动定基： 1 q R R11+m1P=0 1、基本体系-动静基 2、平衡条件 因为：R11=K111 (见图） 所以： K111 +m1P=0 1= m1P K11 C B B B A k11 1= 例1： 例2：用位移法计算图示刚架,并作M图,已知EI为常数. A B C 4m 4m 图a 原结构 P=10kN q=2.5kN/m D 4m A B C 图b 动定基 D 1 3 解：1) 此刚架为四次动不定结构， 取基本未知量为1、2 、3 、 ，得动定基如图（b)示： 2）列位移法正则方程 K111 + K122 + K133 + K1 m1P=0 K211 + K222 + K233 + K244 m2P=0 3) 求自由项miP和结点刚度Kij K311 + K322 + K333 + K344 m3P=0 K411 + K422 + K433 + K444 m4P=10 A B C 图b 动定基 D 1 3 4) 代入正则方程，解之得： 5) 求内力(略) （ ） （ ） ( ) （ ） 思考: 是否还有其他解法? A B C 图c 混合动定基 D 1 2 解二:采用、型梁元组成的混合动定基 K111 + K122 + m1P=0 K211 + K222 m2P=10 （ ） ( ) 代入正则方程，解之得： A B C 图e 混合动定基 1 A B C 图d 等效结构 P=10kN q=2.5kN/m =kNm K111 + m1P=M （ ） 解三:简化的混合动定基 课堂练习: 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。 动定基 EI/32EI/3 EI/3 M1图 1=1 2EI/3 M2图 MP图 2EI/3 EI/3 EI/2 454522.522.5 45 2=1 30kn 10kn/m 动定基 5、依M=M11+ M2 2+ MP绘弯矩图 1 2 对称结构的内力与变形特点 对称结构在对称荷载作用下产生对称的内力与变形；对 称结构在反对称荷载作用下产生反对称的内力与变形。 半结构的选取原则 利用结构对称性取半结构(或四分之一结构)进行 计算时, 其半结构分开处的约束支座是根据其变 形条件来确定的。 6-7 对称结构的计算 一、半结构法 用半个结构的计算简图代替原结构对刚架进行分析的方法。 回 顾 1.奇数跨对称结构 在对称轴上的截面C无转角和水平位移，但有竖向位移。 （1）对称荷载作用下（图a） 计算中所取半边结构如图（b）所示，C处取为滑动支承端。 在对称轴上的截面C无竖向位移，但有转角和水平位移。 （2）反对称荷载作用下（图a） 计算中所取半结构如图（b）所示，C处取为链杆支座。 2.偶数跨对称结构 在对称轴上的截面C无转角和水平位移，柱CD无弯