工程力学7-2-d19-20b.ppt

工程力学A (下) 北京理工大学理学院力学系 韩斌 ( 7-2)( 7-2) 39+6/II 1 1. 1.平移刚体的动能平移刚体的动能 以速度 作平移的刚体，由于其上各点的速度都相同 ，其动能为 (D-14) 式中m为平移刚体的总质量。 x y C 刚体系统动能的计算 2. 2.定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能 z (D-15) 为刚体对定轴转动转轴的转动惯量。 2 x y C O P 3. 3.一般平面运动的刚体一般平面运动的刚体 (D-16) 一般平面运动 的刚体的动能 绕质心定轴 转动的动能 质心平动 动能 = + (D-17) 式中 为一般平面运动刚体对瞬时转轴(即过速度瞬心P并 垂直于其运动平面的轴)的转动惯量。 一般平面运动刚体可按绕速度瞬心的瞬时定轴 转动计算该时刻动能 法一 法二 3 例 题 D-3 一质量为 ，长度为 的均质细杆OA在力偶矩为 的 主动力偶的作用下可绕水平轴O作定轴转动，一质量为 ，半径为 的均质圆盘C在杆上相对于杆作纯滚动，试 以图示 ，为广义坐标，写出系统的动能。 O A C C I9-20 I9-20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 4 解： （1）以圆盘中心以圆盘中心C C为动点，动系与杆为动点，动系与杆 OAOA固连（定轴转动动系）固连（定轴转动动系）。 OA杆：定轴转动，C轮：一般平面运动 O A C C 1.OA杆 2.C轮 关键是求轮C质心绝对速度和轮C绝对角速度。 解法一解法一 大小 方向 (1) 例 题 D-3I9-20 I9-20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 5 沿 ， 方向分别投影得到： O A C C 例 题 D-3I9-20 I9-20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 轮C相对于杆作纯滚动， 设轮C的绝对角速度为 6 根据轮上C，P两点速度关系有： (2) 由式(1)、(2)得到 上式中各项沿 方向投影得到： （2）求 ：设轮上与杆接触点为P， 轮在杆上纯滚， 故 O A C C P 例 题 D-3 I9-20 I9-20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 大小 方向 可求 已求 大小 方向 (1) 7 O A C C 定系与大地固连，动系与杆定系与大地固连，动系与杆OAOA固连固连 ，轮为研究对象，轮为研究对象。 轮C相对角位移、牵连角位移分别为 轮C的绝对角位移为 根据两点速度关系 大小 方向 () () () P 轮C绝对角速度为() 解法二解法二 例 题 D-3I9-20 I9-20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 8 3.系统的总动能为 O A C C 此题最此题最容易犯的一个错误是将轮容易犯的一个错误是将轮 C C的绝对角速度误认为是的绝对角速度误认为是 注意 （ = =轮轮C C相对于杆的角速度）相对于杆的角速度） 例 题 D-3 I9-20 I9-20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 9 例 题 D-4 O I II A a b c d 曲柄OA：长l，质量m1， 绕O轴定轴转动，定齿轮I， 动齿轮II，半径均为r，质量 均为m2，均质链条总质量为 m3，试求系统的动能。 * I9-20 I9-20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 10 O I II A a b c d 解：轮I不动，故系统动能 为 1.曲柄OA ：定轴转动 2.动轮II：一般平面运动 (1)求轮II质心A的速度 例 题 D-4 * I9-20 I9-20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 11 O I II A a b c d (2)求轮II绝对角速度 定系固连大地；动系固连 曲柄OA（定轴转动动系） () 对轮I，轮II，由刚体角速度合成定理： (负号表示) 又两轮半径相同，故(负号表示) 轮II平动！ 例 题 D-4 * I9-20 I9-20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 12 O I II A a b c d 3.链条：可分为4部分 直线段ab+cd，弧段bc，ad 弧段bc 运动状态与轮II相同 平动 弧段ad 运动状态与轮I相同 直线段ab+cd，均为一般平面运动， 由于 故ab段瞬心为a，cd段瞬心为d 例 题 D-4 * I9-20 I9-20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 13 O I II A a b c d Pab Pcd 4.系统总动能为 例 题 D-4 * I9-20 I9-20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 14 (二)动量的计算 1.质点的动量 表示质点机械运动的强弱程度，是 一个矢量矢量，方向与速度的方向一致。 质点动量的本质： 2.质点系的动量 (D-19) 定义为各质点动量的矢量和各质点动量的矢量和： O mi 19 19 动能定理动能定理 20 20 动量原理动量原理 ( (续续) ) 15 O (刚体质心的矢径公式) 对时间求导得到： 刚体的动量等于想象地将刚体的质量都集中于 质心时质心的动量。 C C (D-20) 刚体的动量 刚体系统的动量 (D-21) 2.刚体的动量 16 o 例 题 D-5 o M L M ( ) 写出以下均质刚体在该瞬时的动量： 19 -20 19 -20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 17 均质杆OD长l，质量为m1，均质杆AB长2l，质量 为2m1，滑块A，B质量均为m2，D为AB的中点， OD杆绕O轴以角速度 转动，当OD杆与水平方 向的夹角为 时，求该瞬时系统的动量。 例 题 D-619 -20 19 -20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 O y x A B D C 18 O y x A B D C 解： 系统包括四部分： 滑块A，B，杆AB，OD， P 1.求各刚体质心的速度 OD杆定轴转动：（方向垂直于OD） （方向垂直于OD） AB杆一般平面运动，速度瞬心为P： （） 例 题 D-619 -20 19 -20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 19 () （） ( ) 注意：系统动量为各刚体动量的矢量和各刚体动量的矢量和! ! 2.求系统的动量 p O y x A B D P 例 题 D-619 -20 19 -20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 20 O y x A B D P 或表示为： x y 例 题 D-619 -20 19 -20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 21 1.质点的动量矩 质点的动量对某点之矩质点的动量对某点之矩 (D-22) 若在点O建立直角坐标系Oxyz，则 x y z m O (D-23) (类比于力对点之矩、力对轴之矩) （三）动量矩的计算 质点对点的动量矩对点的动量矩定位矢量定位矢量 质点对轴的动量矩对轴的动量矩代数量代数量 22 当质点作平面运动时，动量对平面内某点O之矩或 对Oz轴之矩均为： O h m (D-24) 符号可规定： 如为正，为负 2. 质点系的动量矩 设质点系中质点 相对于某一固定点固定点OO的矢径为 ， 动量为 。 (D-25) 质点系对某固定点固定点OO的动量矩 为： 1)质点系对固定点或固定轴固定点或固定轴的动量矩 x y z O 23 x y z O 质点系对某一固定轴固定轴 l l 的动量矩 为： (D-26) l 轴 (D-27) 同理，质点系平面运动时，质点系对平面内某 点O的动量矩或对Oz轴的动量矩均为： O hi mi 符号可规定：如为正，为负 24 故质点系对不同的A，O两点的动量矩的关系为： (D-28) 注意 质点系对某点的动量矩质点系对某点的动量矩不等于 质点系动量对该点之矩质点系动量对该点之矩！ 即 (见书上例22.4) 2)对惯性系中不同的两点A,O的动量矩之关系 类比于力对不同两点的力矩之间的关系， 力对A，O两点之矩关系为 A OO 25 3)质点系对动点动点的动量矩 设在惯性参考系中有任意一动点动点A A，其速度为 。 固连于动点固连于动点A A建立平移直角坐标系建立平移直角坐标系 ， (D-29) (D-30) x y z O x y z 将质点系中各质点的绝对动量质点系中各质点的绝对动量 对动对动 点点A A之矩的矢量和定义为质点系对动点之矩的矢量和定义为质点系对动点 A A的绝对动量矩，用的绝对动量矩，用 表示，表示，即： 质点系中质点 相对速度 绝对速度 相对矢径 绝对矢径 A A 26 将质点系中各质点的相对动量质点系中各质点的相对动量 对动点对动点A A之矩的矢之矩的矢 量和定义为质点系对动点量和定义为质点系对动点A A的相对动量矩的相对动量矩，用用 表示表示 ，即： (D-31) 质点系对动点的绝对动量矩绝对动量矩和相对动量矩相对动量矩的关系： x y z A A O x y z 27 (D-32) 故质点系对动点A的绝对动量矩 和相对动量矩的关系为： 其中 为质点系质心C在动系中的 相对坐标， 为动点的绝对速度。 由质点系质心C在动系中的矢径 公式(质心相对于动点A的矢径)： 可得： x y z A A O x y z C C 绝对动量矩=相对动量矩+ 总质量乘以动点绝对速度放在质心后对动点之矩 28 若取取动点动点A A为质点系的质心为质点系的质心C C时 时: 故： (D-33) 质点系对质心的动量矩质点系对质心的动量矩， 无论是在固定坐标系还是无论是在固定坐标系还是 在质心平移坐标系中计算在质心平移坐标系中计算 都是相同的。都是相同的。 (D-32) 质点系对动点A的绝对动量矩和相对动量矩的关系为： O x y z A A x y z C C 29 3. 3. 刚体的动量矩刚体的动量矩 1)1)平移刚体的动量矩平移刚体的动量矩 刚体平移时，建立质心平移坐标系，各质点的相对速度 ，故平移刚体对其质心的动量矩： (D-34) 平移刚体对任意固定点A的动量矩为： (D-35) 平移刚体对任意固定点平移刚体对任意固定点A A的动量矩等于将平移刚体的质的动量矩等于将平移刚体的质 量视为全部集中在质心量视为全部集中在质心C C上时对点上时对点A A的动量矩的动量矩( (即平移刚即平移刚 体相当于一个质点体相当于一个质点) )。 O x y z x y z C A 当刚体作平面平移运动时，对该平面内任一点的 动量矩可视为代数量 。 h 30 2)2)定轴转动刚体的动量矩定轴转动刚体的动量矩 O 在转轴上任取一点O， 建立惯性参考空间中的直角坐标系Oxyz， 使z轴与转轴重合， 则定轴转动刚体的角速度为 设质量为 的微元，相对于点O的矢径为 ， 在直角坐标系Oxyz中的坐标为 ， 其速度为 定轴转动刚体对定点定轴转动刚体对定点OO的动量矩为的动量矩为 (D-36) 31 (D-36) 由上式可知，定轴转动的任意形状刚体对转轴上 任意点的动量矩矢量一般不沿转轴的方向。 O 作为特例，当转轴当转轴 z z 轴为刚体的惯量主轴时轴为刚体的惯量主轴时，才有： 此时动量矩矢量才沿转轴方向！此时动量矩矢量才沿转轴方向！ 也可用代数量表示： 例如，刚体作平面定轴转动，转轴 垂直于刚体的质量对称面时。 ( 与 转向相同) (D-37) O 32 3)3) 一般平面运动刚体的动量矩一般平面运动刚体的动量矩 建立惯性参考空间中的定系Oxyz和质 心平移坐标系 ， (D-38) C O z x y z x y 使三对坐标轴分别平行,且使 ， 轴垂直于刚体的运动平面，则一般 平面运动刚体相对质心平移坐标系 的相对运动为绕 轴的定轴转动： 若若一般平面运动刚体的运动平面为其质量对称面一般平面运动刚体的运动平面为其质量对称面， 则 轴为刚体对质心的惯量主轴惯量主轴，即 ， 则有： (D-39) 为刚体对中心惯量主轴 的转动惯量 33 C O z x y z x y 一般平面运动刚体对质心 C (惯量主轴 )的动量矩 (D-39) 若对位于该刚体运动平面上的对位于该刚体运动平面上的 任意固定点任意固定点A A，则有： 对空间中任意固定点A，则有： h h A A (D-42) (D-41) 符号选择由 矢量对A点之矩 的转向决定 (D-40) 也可视为代数量(或) 34 一般平面运动刚体对质心 C (惯量主轴 )的动量矩 (D-39) (D-40) 也可视为代数量(或) C O z x y z x y 一般平面运动刚体对空间中任意固定点A的动量矩： h h A A (D-42) (D-41) 符号选择由 矢量对A点之矩 的转向决定。 C O z x y z x y 35 O r BM m 求该系统对转轴O点的动量矩。 解： 轮O定轴转动，物块B平动， (负号表示转向为) 例 题 D-7 19 -20 19 -20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 或表示为 36 A C r m 均质圆柱，半径为r，质量为m，绕有细绳 ，A端固定，圆柱质心C以速度vC向下运动 ，求圆柱对质心C及定点A的动量矩。 解：圆柱作一般平面运动 () 圆柱对其质心C的动量矩为： (负号表示) 利用圆柱对A，C两点的动量矩关系： 例 题 D-8 19 -20 19 -20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 (负号表示) 37 圆盘O半径为r，质量m， 以角速度 转动，均质杆 AB,BD的质量均为m，长 均为2r，滑块B ,D质量均 为m，分别在水平和铅垂 滑道内运动，A,B,D处为 铰接，某瞬时杆AB水平, 杆BD与铅垂方向夹角为 30 ，求此瞬时系统的动 能,动量，以及系统对O点 的动量矩。 例 题 D-9 19 -20 19 -20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 O A B D 30 38 O A B D 30 解： 圆盘定轴转动定轴转动，两滑块平移平移，杆BD一般平面运动一般平面运动， 杆AB此时刻为瞬时平动瞬时平动 系统此时动能： 例 题 D-9 19 -20 19 -20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 P () E C ( ) 39 圆盘定轴转动定轴转动，两滑块平动平动，杆BD一般平面运动 一般平面运动， 杆AB此时刻为瞬时平动瞬时平动 例 题 D-9 19 -20 19 -20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 O A B D 30 P E C 系统该时刻的动量： ( ) () 40 圆盘定轴转动定轴转动，两滑块平动平动，杆BD一般平面运动 一般平面运