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第八节 多元函数的极值 一、问题的提出 二、多元函数的极值和最值 三、条件极值拉格朗日乘数法 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估 计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的 每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本 地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？ 每天的收益为 求最大收益即为求二元函数的最大值. 一、问题的提出 二、多元函数的极值和最值 1、二元函数极值的定义 极值点必须是函数定义域的内点. (1) 例如1 (2) (3) 2、多元函数取得极值的条件 证 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的 点，均称为函数的驻点. 注意：有偏导数的函数极值点必为驻点； 但驻点未必是极值点. 极值可疑点：驻点或一阶偏导数不存在的点. 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 极值点也可能是一阶偏导不存在的点. 定理2（充分条件） 3、多元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值. 设函数 z = f (x , y) 在闭区域 D 上连续 , 则函数在 D 上必有最大值和最小值 . z = f (x , y) 的最值既可在 D 的内点处取得 , 也可 在 D 的边界点处取得 . 设函数 z = f (x , y) 在闭区域 D 上连续、可微 , 且 只有有限个极值点 , 若最值在 D 内取得 , 则最值 点必是极值点 . 求出函数在 D 内的所有驻点、不可求偏导 的点处的函数值和在 D 的边界上的最大值和最 小值相互比较，这些值中最大者即为最大值， 最小者即为最小值. 求最值的一般方法： 解 如图, 先求函数在D内的驻点 求实际问题中，由问题的实际意义可知函 数 f (x , y) 有最值，且在 D 内只有唯一的驻点， 则该驻点的函数值就是所求的最大值或最小值. 三、条件极值拉格朗日乘子法 无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外 ，并无其他条件. 实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他 购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 设每张磁 盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200 元以达到最佳效果 问题的实质：求 在条 件 下的极值点 条件极值：对自变量有附加条件的极值 拉格朗日乘子法 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个或约束 条件有多个的情况： 解 则 解 可得 即 可得 即 课后练习： 多元函数的极值 条件极值与拉格朗
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