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4.3 高阶阶微分方程的降阶阶 和幂级幂级 数解法 一、可降阶的一些方程类型 n阶微分方程的一般形式: 1 不显含未知函数x, 或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k1)阶导数的方程是 若能求得(4.58)的通解 对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解 即 解题步骤: 第一步: 第二步:求以上方程的通解 即 第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解 解 令则方程化为 这是一阶方程,其通解为 即有 对上式积分4次, 得原方程的通解为 例1 2 不显含自变量t的方程, 一般形式: 因为 用数学归纳法易得: 将这些表达式代入(4.59)可得: 即有新方程 它比原方程降低一阶 解题步骤: 第一步: 第二步:求以上方程的通解 第三步: 解方程 即得原方程的通解 解 令 则方程化为 从而可得及 这两方程的全部解是 例2 再代回原来变量得到 所以得原方程的通解为 3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶 的非零解 令 则 代入(4.69)得 即 引入新的未知函数 方程变为 是一阶线性方程,解之得 因而 则 因此 (4.69)的通解为 解题步骤: 第一步: 第二步: 解之得 即 第三步: 第四步: (4.69)的通解为 注一般求(4.69)的解直接用公式(4.70) 解 这里 由(4.70)得 例3 代入(4.2)得 事实上 若 则 即 因此,对(4.67)仿以上做法, 二、二阶线性方程的幂级数解法 对二阶变系数齐线性方程 其求解问题,归结为寻求它的一个非零解. 下面考虑该方程及初始条件 用级数表示解? 定理10 定理11 例4 解设级数 为方程的解, 由初始条件得: 因而 将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得 即 因而 也即 故方程的解为 例5 解将方程改写为 易见,它满足定理11条件,且 将(4.75)代入(4.74)中,得 由(4.76)得 即 从而可得 因此(4.77)变为 若取 则可得(4.74)的另一个特解 由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛. 因而(4.74)的通解为 因此,不能象上面一样求得通解; 因此,(4.74)的通解为 例
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