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1.5.3 闭区间上连续函数的性质 设 在区间I 有定义, 则称 是函数 在区间I 的最大值(最小值). 定理1.22 (最大最小值定理) 设 在a, b上连续, 则 在a, b上有 最大值最小值. 有 注意: 1. 若区间是开区间, 定理不一定成立; 推论1.6 (有界性定理) 2. 若区间内有间断点, 定理不一定成立. 设 在a, b上连续, 则 在a, b上有界. 有 若 显然, 函数的最大、最小值分别是它的一个 上界和一个下界. 定理1.23 (零点定理) 设函数 在闭区间 a, b上连续， 使得则至少有一点 如果 的一个零点. 几何解释： 定理1.24 (介值定理) 设函数 在闭区间 上连续, 若 则至少有一点使得 两个端点位于x 轴的两侧, 则曲线弧与x 轴至少有一交点. 连续曲线弧 的 M B C A m a b 证 由零点定理, 推论1.7 闭区间上连续的函数, 必取得介于最 大值M 与最小值m 之间的任何值. 例10 证明方程 证 由零点定理, 一根. 所以,方程 使得 例11 设函数 证 由零点定理, 使得 即 例12 设 证 由最大最小值定理, 该函数闭区间上必取得最大值 M 与最小值 m. 由介值定理, 使得 于是 证明
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