高数7-4多元函数的微分法.pptVIP

一、多元复合函数的求导法则 三、隐函数的求导公式 Ch7-4 多元函数的微分法 一元复合函数 求导法则 微分法则 二、多元复合函数的全微分 一、多元复合函数的求导法则链式法则 在点 t 可导, 则复合函数 且有链式法则 若定理中 偏导数连续减弱为偏导数存在, 则定理结论不一定成立. 定理 若函数 在点(u,v)处的偏导连续, 在 t 可导， 说说 明明 1. 链式法则 推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, 设下面所涉及的函数都可微 . 2) 中间变量是多元函数的情形. 例如, 当它们都具有可微条件时, 有 注意: 这里 表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 与不同, 3) 复合函数中自变量与中间变量共存时. 例如 解 注意：也可由z=exysin(x+y) ，直接对x、y求偏导。 注意两种方法的区别。 而z=x2siny。求 解 ： 例2 解 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号. 2. 多元复合函数的高阶偏导数 通过例题介绍多元复合函数的高阶偏导数 解令 记 同理有 于是 例6 设z=f(2x+y)+f (2x y，ysinx)，求zxy。 解 zx =2f(2x+y) + f1 2 + f2 ycosx zxy = 2f (2x+y) +2(f11 (1) + f12 sinx)+ f2 cosx+ ycosx(f21 (1) + f22 sinx) = 2f (2x+y) f11+2 f12 sinx+ f2cosx y f21 cosx + y f22 sinxcosx 设z=f (u,v)具有连续的偏导数，则有 二、多元复合函数的全微分 由此可见，不论z是自变量u、v函数，或是中 间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的 ，都是 这个性质叫全微分形式的不变性。 利用这一性质，可求复合函数、隐函数的偏导数 。 解 小结 本部分主要讨论了多元复合函数的求导法则。 本节要求理解多元复合函数的概念；熟练掌 握多元复合函数（特别是抽象函数）的一阶、二 阶偏导数的计算。 思考与练习 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数的求导公式 1. 一个方程的情形 三、 隐函数的求导公式 这个定理我们不证。现仅就公式作如下推导。 将方程所确定的函数y=f (x) 代入原方程 由于Fy 连续,且Fy(x0,y0) 0,所以存在(x0,y0) 的一个邻域,在这邻域内Fy0 ,于是得 得恒等式 F(x，f (x)0， 解 令 则 解令 则 例2 由于 F(x，y，f (x ，y)0， 将上式两端分别对x和y求导，应用复合函数 求导法则得 因为Fz连续,且Fz(x0,y0,z0)0 ，所以存在点 (x0,y0,z0)的一个邻域，在这个邻域内Fz0 ,于是得 解 令 则 例4 设(u，v) 具有连续的偏导数，证明由方程 (cxaz，cybz)=0 确定的函数z=f (x,y) ，满足 方程的两端对x 求导有 证明 方法一 利用复合函数求导法则 可得 方程两端对y 求偏导有 可得 于是有 方法二 公式法 记(cxaz，cybz)=F (x，y，z)，则 Fx=cu，Fy=cv，Fz=aubv 所以 方法三 利用全微分形式的不变性 移项 cudx+cvdy=(au+bv)dz 所以 于是 d(cxaz，cybz)=ud（cxaz）+vd(cybz) =u(cdx-adz)+v(cdy-bdz)=0 2. 方程组的情形 解1直接代入公式； 解2运用公式推导的方法， 将所给方程的两边对 求导并移项 将所给方程的两边对 求导，用同样方法得 注 从