苏锡常镇四市届高三教学情况调研数学试题（一）含解析.doc

江苏省苏锡常镇四市2017届高三教学情况调研（一）数学试题一、填空题1. 已知集合，_【答案】 【解析】由，得：，则，故答案为.2. 若复数满足（为虚数单位），则_【答案】【解析】由，得，则，故答案为.3. 函数的定义域为_【答案】【解析】要使函数有意义需满足，解得，故答案为.4. 下图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是_【答案】【解析】由题意列出如下循环过程：； 不满足循环条件，输出的值，故答案为.5. 某高级中学共有名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取个容量为的样本，其中高一年级抽人，高三年级抽人则该校高二年级学生人数为_【答案】300【解析】由题意得高二年级应抽取人，则高二年级学生人数为，故答案为.点睛：本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以做到知二求一；用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，根据高一年级抽人，高三年级抽人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有名学生，算出高二年级学生人数.6. 已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为_【答案】【解析】正四棱锥的底面边长是2，侧棱长为，底面对角线长为，所以棱锥的高为，所以棱锥的体积为，故答案为.7. 从集合中任取两个不同的数，则这两个数的和为的倍数的概率为_【答案】【解析】从中任取两个不同的数，共有6种情况，和是3的倍数的有，两种情况，所以根据古典概型公式得，故答案为.8. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为_【答案】2【解析】抛物线的焦点坐标为，则在双曲线中，则离心率为，故答案为.9. 设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，则的值为_【答案】2【解析】设等比数列的公比为，首项是，当时，有、，不满足成等差数列；当时，因为成等差数列，所以，化简得，解得或（舍去），则，得，则，故答案为2.点睛：本题考查等比数列的前项和公式、通项公式，分类讨论思想，使用等比数列的前 项和公式时需要对公比与1的关系进行讨论；设等比数列的公比为、首项是，根据公比与1的关系进行分类，由等比数列的前项和公式化简求值，再由等比数列的通项公式化简可得和的值，故可求得.10. 在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的方程为_【答案】11. 在中，已知，若点满足，且，则实数的值为_【答案】或【解析】中，点满足，又，整理得，解得或，故答案为 或.12. 已知，则_【答案】【解析】由，得，即整理得：，即，而，故，故答案为.13. 若函数，则函数的零点个数为_【答案】4【解析】 当时，根据指数函数的性质可知，该函数单调递减且，故由两个解；当时，故当时，函数单调递增，当时，函数单调递减；，故，故由两个解，综上可得函数的零点个数为4，故答案为.点睛：本题考查分段函数的应用，函数的零点个数的求法，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力；利用分段函数，对，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当时，利用导数判断函数的单调性，利用数形结合思想求解函数的零点个数即可.14. 若正数满足，则的最小值为_【答案】1【解析】由正数满足，可得，则，又，其中，即，当且仅当时取得等号，设，的导数为，当时，递增，时，递减即有在处取得极小值，也为最小值，此时，则当且仅当，时，取得最小值1，故答案为1.点睛：本题考查最值的求法，注意运用变形和导数，求得单调区间、极值和最值，考查化简整理的运算能力，属于难题；由题意可得，又，求出，当且仅当时取得等号，设，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值.二、解答题15. 在中，分别为角的对边若，且（1）求边的长；（2）求角的大小【答案】（1）;（2）. 【解析】试题分析：（1）由，利用余弦定理化为：，相加即可得出；（2）运用正弦定理结合题意可得：，将其代入中可解出，结合的范围可得结果.试题解析：（1）（法一）在中，由余弦定理，则，得； ，则，得，+得：，. （法二）因为在中，则， 由得：，代入上式得： . （2）由正弦定理得， 又， 解得，. 16. 如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，是棱上一点，且平面（1）求证：是中点；（2）若，求证：【答案】（1）见解析;(2)见解析.17. 某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门（如图）设计要求彩门的面积为（单位：），高为（单位：）（为常数）彩门的下底固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为，不锈钢支架的长度和记为（1）请将表示成关于的函数；（2）问当为何值最小，并求最小值【答案】（1）l表示成关于的函数为 ()；（2）当时，l有最小值为. 【解析】试题分析：（1）求出上底，即可将表示成关于的函数；（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当为何值时最小，并求最小值.试题解析：（1）过作于点，则（）， ，设，则， 因为S=，则 ； 则 ()； （2）， 令，得. 减极小值增所以， . 答：（1）l表示成关于的函数为 ()；（2）当时，l有最小值为. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的右顶点为.（1）求该椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于两个不同点，求证：直线的斜率之和为定值.【答案】（1）（2）直线AP，AQ的斜率之和为定值1. 【解析】试题分析：（1）由题意可知，离心率，求得，则，即可求得椭圆的方程；（2）则直线的方程：，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线，的斜率，即可证明直线，的率之和为定值.试题解析：（1）由题 所以，. 所以椭圆C的方程为 （2）当直线PQ的斜率不存在时，不合题意； 当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为， 代入 得， 设，则：， 所以， 又=1.所以直线AP，AQ的斜率之和为定值1. 19. 已知函数（为正实数，且为常数）.（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）对函数进行求导即，因在上单调递增，则，利用分离参数思想得恒成立，即即可；（2）分为和两种情形，当时，结合（1）很容易得到结论，当时，运用二次求导确定其单调性得解.试题解析：（1），. 因在上单调递增，则，恒成立. 令，则， x减极小值增因此，即. （2）当时，由（1）知，当时，单调递增. 又，当，；当时，. 故不等式恒成立 若， 设，令，则. 当时，单调递减，则，则，所以当时，单调递减， 则当时，此时，矛盾. 因此，. 点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.20. 已知为正整数，数列满足，设数列满足.（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列是等差数列，求实数的值；（3）若数列是等差数列，前项和为，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数的值.【答案】（1）见解析;（2）;（3）当N*，对任意的N*，均存在N*，使.【解析】试题分析：（1）将经过移项、两边同时除以可得，故可得结论为等比数列；（2）由（1）得，代入得，由数列是等差数列易知，代入可解得，将其进行检验得结果；（3）由（2）得，利用等差数列前项和公式代入，解出，经讨论当时符合题意，当时不符合题意.试题解析：（1）由题意得，因为数列各项均正，得，所以， 因此，所以是以为首项公比为2的等比数列. （2）由（1）得， 如果数列是等差数列，则， 得：，即，则，解得 ，. 当时，数列是等差数列，符合题意； 当=12时，数列不是等差数列，=12不符合题意； 综上，如果数列是等差数列，. （3）由（2）得，对任意的N*，均存在N*，使，则，所以. 当，N*，此时，对任意的N*，符合题意； 当，N*，当时，. 不合题意. 综上，当N*，对任意的N*，均存在N*，使.21. 已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵对应的变换将点变换成.（1）求矩阵；（2）求矩阵的另一个特征值.【答案】(1)M=. （2）矩阵M的另一个特征值为. 【解析】试题分析：（1）先设矩阵M=，由二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量及矩阵对应的变换将点换成，得到关于的方程组，即可求得矩阵；（2）由（1）知，矩阵的特征多项式为，从而求得另一个特征值为2.试题解析：设M=，M，M，解得 即M=. （2）则令特征多项式， 解得.矩阵M的另一个特征值为. 22. 已知圆和圆的极坐标方程分别为.（1）把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程.【答案】（1）圆的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为， （2）该直线的极坐标方程为. 【解析】略23. 如图，已知正四棱锥中， ，点分别在上，且.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）.; （2）.【解析】试题分析：（1）设，交于点，以为坐标原点，方向分别是轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，将异面直线所成的角转化为直线的方向向量所的角；（2）将二面角用面的法向量所成的角表示.试题解析：（1）设，交于点，在正四棱锥中，平面. 又，所以. 以为坐标原点，方向分别是轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图： 则， 故， 所以，所以与所成角的大小为. （2）， ，.设是平面的一个法向量，则,，可得 令，即， 设是平面的一个法向量，则，可得 令，即， ，则二面角的余弦值为.点睛：本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养；建立适当的空间直角坐标系，异面直线所成的角与直线的方向向量所成的角之间相等或互补，主要通过异面直线所成的角的范围为来确定，两个半平面所成的角与面的法向量之间也是相等或互补，主要是通过图形来确定范围.24. 设，为正整数，数列的通项公式，其前项和为.（1）求证：当为偶数时，；当为奇数时，；（2）求证：对任何正整数，.【答案】（1）当n为偶数时，；当n为奇数时，;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）当为偶数时，易得，当为奇数，即时，分为和两种情形分别讨论；（2）利用数学归纳法证明.试题解析：（1）因为.当n为偶数时，设，.当n为奇数时，设