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第十一章 曲线积分与曲面积分 curvillnear integral and surface integral 1 对弧长的曲线积分的概念 几何意义与物理意义 对弧长的曲线积分的计算 arc length 第一节 对弧长的曲线积分 第十章 曲线积分与曲面积分 2 一、问题的提出 实例 匀质质量 分割 求和 取极限 取近似 曲线形构件的质量 近似值 精确值 对弧长的曲线积分 3 二、对弧长的曲线积分的概念 1.定义设L为 xOy面内一条光滑曲线弧, 有界. 作乘积 作和 如果当各小弧段的长度的最大值 对弧长的曲线积分 任意插入点列 设第 i 个小段的任意取定 长度为 121 , -n MMML 和的极限存在, 4 曲线形构件的质量 称此极限为在曲线弧 L 对弧长的曲线积分或 第一类曲线积分. 积分和式 被积函数 弧元素 积分弧段 对弧长的曲线积分 5 2. 存在条件 3. 推广 对弧长的曲线积分 连续, 对弧长的曲线积分为 对弧长的曲线积分 6 注意 闭曲线 L 上 对弧长的曲线积分 (对路径具有可加性) 对弧长的曲线积分 7 4. 性质 (1) (2) (3) 与积分路径的方向无关, 对弧长的曲线积分 8 是L上关于x 的奇函数 是L上关于x 的偶函数 L1是曲线L落在y 轴一侧的部分. L关于y轴 对称, 补充对称性质 在一条光滑的曲线L上连续, 当 (或y) (或y)当 (或x轴) (或x) 运用对称性简化对弧长的曲线积分 计算时, 应同时考虑被积函数 与积 分曲线L的对称性. 对弧长的曲线积分 9 例其中L是圆周 解 因积分曲线L关于 被积函数x是L上 被积函数 因积分曲线L关于 对称性, 计算 是L上 y轴对称, 关于x的奇函数 x轴对称, 关于y的奇函数 对弧长的曲线积分 10 三、对弧长曲线积分的计算 定理 其中 且 有定义且连续, 具有一阶连续导数, 解法 化为参变量的定积分计算 对弧长的曲线积分 注意对弧长的曲线积分要求 tttd)()( 22 yj+ 11 特殊情形 (1) 对弧长的曲线积分 (2) tttd)()( 22 yj+ 12 (3) 对弧长的曲线积分 特殊情形 推广 tttd)()( 22 yj+ 13 或 此时需把它化为参数方程 再按上述方法计算. 对弧长的曲线积分 为参数), 是两个曲面的交线如果积分路径L 14 例 解 例 解 对x积分? 对弧长的曲线积分 15 例 解 对弧长的曲线积分 是右半圆周其中计算,d|Lsy L 或利用: 对称性质 16 在第一象限中所围图形的边界. 提示 解 对弧长的曲线积分 17 对弧长的曲线积分 18 几何意义 (1) (2) 对弧长的曲线积分 四、几何意义与物理意义 柱面面积 弧长 19 解 设下半圆周的参数方程 对弧长的曲线积分 通过几何直观,还有更简单的方法吗? 20 例 解 由于 对弧长的曲线积分 的方程中的x, y, z的地位完全对称, 21 解 对称性 对弧长的曲线积分 22 物理意义 对弧长的曲线积分 23 对弧长曲线积分的概念 对弧长曲线积分的计算公式 对弧长曲线积分的应用 对弧长的曲线积分 五、小结 (四步:分割、取近似、求和、取极限） (弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式) (曲线的质量、质心、转动惯量) 24 思考题 是非题 对弧长的曲线积分,当利用参数方程化为 定积分计算时,不管起点还是终点,其下限为较 小端点的参数值,上限为