高中全程复习方略配套课件：43平面向量的数量积.ppt

第三节 平面向量的数量积 三年27考 高考指数: 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平 面向量的垂直关系. 1.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应用数 量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直,是重点也是难 点； 2.题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识 点交汇则以解答题为主. 1.两个向量的夹角 (1)夹角的定义 定 义 范 围 已知两个_向量 作 AOB=叫作 向量 的夹角（如图）. 向量夹角的范围是_, 当=_时，两向量共线； 当=_时，两向量垂直，记作 （规定零向量可与任一向量 垂直）. 0或180 90 0180 非零 A O B (2)射影的定义 设是a与b的夹角，则_叫作b在a方向上的射影. _叫作a在b方向上的射影. 射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量.当 _时，它是正值;当_时，它是负值; 当_时，它是0. |b|cos |a|cos 00 00(0， 即(2k-1)(k+1)0,k-1或 当2a+b与a-b共线时，3(k+1)-(2k-1)0=0, k=-1,又k-1,2a+b与a-b不共线， 故k的取值范围为：k-1或 【反思感悟】求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积 ，两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求cos,进而 求，要注意0,. 【变式备选】已知A(2，0)，B(0，2)，C(cos，sin)，O为 坐标原点， (1) 求sin2的值. (2)若 且(-,0),求 与 的夹角. 【解析】(1) =(cos,sin)-(2，0)=(cos-2,sin), =(cos，sin)-(0，2)=(cos，sin-2)， =cos(cos-2)+sin(sin-2) =cos2-2cos+sin2-2sin=1-2(sin+cos)= (2) =(2,0), =(cos,sin)， + =(2+cos,sin)， | + |= 即4+4cos+cos2+sin2=7, 4cos=2即 -0, 又 设为 与 的夹角， 【满分指导】平面向量主观题的规范解答 【典例】(12分)(2011陕西高考)叙述并证明余弦定理. 【解题指南】利用向量数量积证明，由 把 展开利用 代入，即可证 明. 【规范解答】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边 的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在 ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，有a2=b2+c2-2bccosA, b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC. 4分 证明：如图， 8分 =b2-2bccosA+c2， 即a2=b2+c2-2bccosA， 10分 同理可证b2=c2+a2-2cacosB, c2=a2+b2-2abcosC.12分 【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以 得到以下失分警示和备考建议： 失 分 警 示 在解答本题时有两点容易造成失分： (1)余弦定理用文字语言叙述不完整、不规范，用符 号语言表述时三个只写一个. (2)用 证明时计算失误. 备 考 建 议 解决平面向量数量积问题时，还有以下几点容易造成 失分,在备考时要高度关注： (1)公式记错; (2)对向量的夹角理解错误; (3)混淆向量平行与垂直的充要条件. 另外熟练掌握数量积问题的常见求法，才能快速正确 解决平面向量的数量积问题. 1.(2011重庆高考)已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线 ，那么ab的值为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】选D.a+b=(3,2+k),因为a+b与a共线，所以2+k-3k=0, 解得k=1,所以ab=12+12=4. 2.(2011辽宁高考)若a,b,c均为单位向量，且ab=0, (a-c)(b-c)0,则|a+b-c|的最大值为( ) 【解析】选B.由(a-c)(b-c)0, 得ab-ac-bc+c20, 又ab=0且a,b,c均为单位向量，得 -ac-bc-1, |a+b-c|2=(a+b-c)2=a2+b2+c2+2(ab-ac-bc) =3+2(-ac-bc)3-2=1, 故|a+b-c|的最大值为1. 3.(2012咸阳模拟）如图，已知点O是边长为1的等边ABC的 中心，则 等于( ) 【解析】选D.由题意得 4.(2011安徽高考)已知向量a、b满足(a+