初二数学三角形探究题带详细解析含答案.docVIP

初二三角形探究题V1一解答题（共30小题）1（2015春十堰期末）如图，已知射线CDAB，C=ABD=110，E，F在CD上，且满足EAD=EDA，AF平分CAE（1）求FAD的度数；（2）若向右平行移动BD，其它条件不变，那么ADC：AEC的值是否发生变化？若变化，找出其中规律；若不变，求出这个比值；（3）在向右平行移动BD的过程中，是否存在某种情况，使AFC=ADB？若存在，请求出ADB度数；若不存在，说明理由2（2015春瑶海区期末）如图，已知ABCD，BEFG（1）如果1=53，求2和3的度数；（2）本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳，使用文字语言表达出来；（3）利用（2）的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍小30，求这两个角的大小3（2015秋攀枝花校级期末）如图1，E是直线AB，CD内部一点，ABCD，连接EA，ED（1）探究猜想：若A=25，D=35，则AED等于度若A=35，D=45，则AED等于度猜想图1中AED，EAB，EDC的关系并证明你的结论（2）拓展应用：如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域、位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：PEB，PFC，EPF的关系（直接写出结论，不要求证明）4（2015春江都市期末）如图（1），四边形ABCD中，ADBC，点E是线段CD上一点，（1）说明：AEB=DAE+CBE；（2）如图（2），当AE平分DAC，ABC=BAC说明：ABE+AEB=90；如图（3）若ACD的平分线与BA的延长线交于点F，且F=60，求BCD5（2015春平南县期末）如图，已知ABCD，直线l分别截AB、CD于E、C两点，M是线段EC上一动点（不与E、C重合），过M点作MNCD于点N，连结EN（1）如图1，当ECD=40时，填空：FEB=；MEN+MNE=；（2）如图2，当ECD=时，猜想MEN+MNE的度数与的关系，并证明你的结论6（2015春建昌县期末）已知：如图，直线ab，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点（1）如图1，当点P在线段AB上（不与A、B两点重合）运动时，1、2、3之间有怎样的大小关系？请说明理由；（2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，1、2、3之间的大小关系为；（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，1、2、3之间的大小关系为7（2015春迁安市期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图1，若ABCD，点P在AB、CD外部，则有B=BOD，又因BOD是POD的外角，故BOD=BPD+D得BPD=BD将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则BPD、B、D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在如图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则BPD、B、D、BQD之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求如图4中A+B+C+D+E的度数8（2015营口）【问题探究】（1）如图1，锐角ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰ABE和等腰ACD，使AE=AB，AD=AC，BAE=CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，ABC=ACD=ADC=45，求BD的长（3）如图3，在（2）的条件下，当ACD在线段AC的左侧时，求BD的长9（2015菏泽）如图，已知ABC=90，D是直线AB上的点，AD=BC（1）如图1，过点A作AFAB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由10（2015贵港）已知：ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中PCQ=90，探究并解决下列问题：（1）如图，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：线段PB=，PC=；猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；（2）如图，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图给出证明过程；（3）若动点P满足=，求的值（提示：请利用备用图进行探求） 11（2014南京）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，然后，对B进行分类，可分为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究【深入探究】第一种情况：当B是直角时，ABCDEF（1）如图，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E=90，根据，可以知道RtABCRtDEF第二种情况：当B是钝角时，ABCDEF（2）如图，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是钝角，求证：ABCDEF第三种情况：当B是锐角时，ABC和DEF不一定全等（3）在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是锐角，请你用尺规在图中作出DEF，使DEF和ABC不全等（不写作法，保留作图痕迹）（4）B还要满足什么条件，就可以使ABCDEF？请直接写出结论：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是锐角，若，则ABCDEF12（2014德州）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F分别是BC，CD上的点且EAF=60探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DG=BE连结AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180E，F分别是BC，CD上的点，且EAF=BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离13（2014绍兴）（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，EAF=45，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG求证：EF=FG（2）如图，等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，点M，N在边BC上，且MAN=45，若BM=1，CN=3，求MN的长14（2014佛山）（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）（2）如图2，在ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，以此类推若ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？15（2014雁塔区校级模拟）阅读下题及证明过程：已知：如图，D是ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，ABE=ACE，求证：BAE=CAE证明：在AEB和AEC中，EB=EC，ABE=ACE，AE=AE，AEBAEC第一步BAE=CAE第二步问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程16（2013东营）（1）如图（1），已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E证明：DE=BD+CE（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF的形状17（2013湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在RtABC中，AB=BC，ABC=90，BOAC于点O，点P、D分别在AO和BC上，PB=PD，DEAC于点E，求证：BPOPDE（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程（2）特殊位置，证明结论若PB平分ABO，其余条件不变求证：AP=CD（3）知识迁移，探索新知若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D，请直接写出CD与AP的数量关系（不必写解答过程）18（2013河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C=90，B=E=30（1）操作发现如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是；设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是（2）猜想论证当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC=60，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DEAB交BC于点E（如图4）若在射线BA上存在点F，使SDCF=SBDE，请直接写出相应的BF的长19（2013烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明20（2013昭通）已知ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使DAF=60，连接CF（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系21（2013威海）操作发现将一副直角三角板如图摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30角的直角三角板DEF的长直角边DE重合问题解决将图中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图（1）求证：CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长22（2013常德）已知两个共一个顶点的等腰RtABC，RtCEF，ABC=CEF=90，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MBCF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当BCE=45时，求证：BM=ME23（2013重庆模拟）如图，P为正方形ABCD边BC上一点，F在AP上，且AF=AD，EFAP交CD于点E，G为CB延长线上一点，BG=DE（1）求证：PAG=BAP+DAP；（2）若DE=2，AB=4，求AP的长24（2013涪陵区校级模拟）如图，ADE的顶点D在ABC的BC边上，且ABD=ADB，BAD=CAE，AC=AE求证：BC=DE25（2013庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形ABD、ACE拼在一起（图1）ABD不动，（1）若将ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC（2）若将图1中的CE向上平移，CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系（3）在（2）中，若CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由26（2013成都校级模拟）如图，点C是线段AB上除A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边三角形ACD和等边三角形BEC，连结AE交DC于M，连结BD交CE于N，AE与BD交于F（1）求证：AE=BD；（2）连结MN，仔细观察MNC的形状，猜想MNC是什么三角形？说出你的猜想，并加以证明27（2013汕尾模拟）如图所示，OAB是边长为的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点A在x轴的正方向上，将OAB折叠，使点B落在边OA上，记为B，折痕为EF（1）设OB的长为x，OBE的周长为c，求c关于x的函数关系式；（2）当BEy轴时，求点B和点E的坐标；（3）当B在OA上运动但不与O、A重合时，能否使EBF成为直角三角形？若能，请求出点B的坐标；若不能，请说明理由28（2013青羊区一模）如图，ABC中AB=AC，BC=6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D（1）如图，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由29（2013渝中区校级模拟）如图（1），RtAOB中，AOB的平分线OC交AB于C，过O点做与OB垂直的直线ON动点P从点B出发沿折线BCCO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线COON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动（1）求OC、BC的长；（2）设CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值30（2013武汉模拟）已知ABC中，AB=AC（1）如图1，在ADE中，若AD=AE，且DAE=BAC，求证：CD=BE；（2）如图2，在ADE中，若DAE=BAC=60，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长；（3）如图3，在ADE中，当BD垂直平分AE于H，且BAC=2ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明初二三角形探究题V1参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2015春十堰期末）如图，已知射线CDAB，C=ABD=110，E，F在CD上，且满足EAD=EDA，AF平分CAE（1）求FAD的度数；（2）若向右平行移动BD，其它条件不变，那么ADC：AEC的值是否发生变化？若变化，找出其中规律；若不变，求出这个比值；（3）在向右平行移动BD的过程中，是否存在某种情况，使AFC=ADB？若存在，请求出ADB度数；若不存在，说明理由【考点】平行线的性质菁优网版权所有【分析】（1）先根据平行线的性质求出CAB的度数，BAD=EAD，再由EAD=EDA，AF平分CAE可得出FAD=CAB，由此可得出结论；（2）根据三角形外角的性质可直接得出结论；（3）设BAD=EAD=EDA=x，由（1）知FAD=35，根据三角形外角的性质可知AFC=x+35再由ABCD可得出BDC=70，故ADB=70x，求出x的值即可得出结论【解答】解：（1）射线CDAB，C=110，CAB=70，BAD=EAD，EAD=EDA，EAD=BAD=EABAF平分CAE，FAD=FAE+EAD=CAB=70=35；（2）不变ABCD，C=110，CAB=70当BD向右平移时，EAD增大，CAB不变，EAD=EDA，AEC=EAD+EDA，ADC：AEC=1：2；（3）存在设BAD=EAD=EDA=x，由（1）知FAD=35，AFC=x+35ABCD，ABD=110，BDC=70，ADB=70x，AFC=ADB，x+35=70x，解得x=17.5，ADB=7017.5=52.5【点评】本题考查的是平行线的性质，涉及到三角形外角的性质等知识难度适中2（2015春瑶海区期末）如图，已知ABCD，BEFG（1）如果1=53，求2和3的度数；（2）本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳，使用文字语言表达出来；（3）利用（2）的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍小30，求这两个角的大小【考点】平行线的性质菁优网版权所有【分析】（1）先根据平行线的性质求出4的度数，再由BEFG即可得出2的度数，根据补角的定义即可得出结论；（2）根据（1）中的规律即可得出结论；（3）设一个角的度数为x，则x+（2x30）=180或x=2x30，求出x的值即可【解答】解：（1）ABCD，1=53，4=1=53BEFG，2=4=53，3=18053=127；（2）由（1）中的规律可知，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；（3）设一个角的度数为x，则x+（2x30）=180或x=2x30，解得x=70或30，这两个角的度数分别是70，110或30，30【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等3（2015秋攀枝花校级期末）如图1，E是直线AB，CD内部一点，ABCD，连接EA，ED（1）探究猜想：若A=25，D=35，则AED等于60度若A=35，D=45，则AED等于80度猜想图1中AED，EAB，EDC的关系并证明你的结论（2）拓展应用：如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域、位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：PEB，PFC，EPF的关系（直接写出结论，不要求证明）【考点】平行线的性质菁优网版权所有【分析】（1）过点E作EFAB，再由平行线的性质即可得出结论；根据的过程可得出结论；（2）根据题意画出图形，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即可得出结论【解答】解：（1）过点E作EFAB，ABCD，ABCDEF，A=25，D=35，1=A=25，2=D=35，AED=1+2=60；过点E作EFAB，ABCD，ABCDEF，A=35，D=45，1=A=35，2=D=45，AED=1+2=80；猜想：AED=EAB+EDC理由：过点E作EFCD，ABDCEFAB（平行于同一条直线的两直线平行），1=EAB，2=EDC（两直线平行，内错角相等），AED=1+2=EAB+EDC（等量代换）（2）如图2，当点P在区域时，ABCD，BEF+CFE=180，PEF+PFE=（PEB+PFC）180PEF+PFE+EPF=180，EPF=180（PEF+PFE）=180（PEB+PFC）+180=360（PEB+PFC）；当点P在区域时，如图3所示，ABCD，BEF+CFE=180，EPF+FEP+PFE=180，EPF=PEB+PFC故答案为：（1）60，80【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键4（2015春江都市期末）如图（1），四边形ABCD中，ADBC，点E是线段CD上一点，（1）说明：AEB=DAE+CBE；（2）如图（2），当AE平分DAC，ABC=BAC说明：ABE+AEB=90；如图（3）若ACD的平分线与BA的延长线交于点F，且F=60，求BCD【考点】平行线的性质菁优网版权所有【分析】（1）过E作EFAD，根据ADBC可得出EFBC，故可得出DAE=EAF，CBE=BEF，由此可得出结论；（2）根据ADBC可知DAC=ACB再由AE平分DAC得出EAC=DAC=ACB，根据ABC=BAC，ABC+BAC+ACB=180即可得出结论；由知BAE=90，故FAE=90再由三角形外角的性质得出AGC=90+60=150根据三角形内角和定理得出GAC+ACG=30由AE平分DAC，CF平分ACD及三角形内角和定理得出D的度数，再由平行线的性质即可得出结论【解答】解：（1）过E作EFAD，ADBC，EFBC，DAE=EAF，CBE=BEF，AEB=DAE+CBE；（2）证明：ADBC，DAC=ACBAE平分DAC，EAC=DAC=ACB，ABC=BAC，ABC+BAC+ACB=180，BAC+EAC=90，ABE+AEB=90；解：如图（3），由知BAE=90，FAE=90F=60，AGC=90+60=150GAC+ACG=30AE平分DAC，CF平分ACD，DAC+ACD=2（GAC+ACG）=60，D=18060=120ADBC，BCD=180D=180120=60【点评】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平分线的性质、三角形内角和定理等知识，难度适中5（2015春平南县期末）如图，已知ABCD，直线l分别截AB、CD于E、C两点，M是线段EC上一动点（不与E、C重合），过M点作MNCD于点N，连结EN（1）如图1，当ECD=40时，填空：FEB=40；MEN+MNE=50；（2）如图2，当ECD=时，猜想MEN+MNE的度数与的关系，并证明你的结论【考点】平行线的性质菁优网版权所有【分析】（1）直接根据平行线的性质可得出FEB的度数，再由MNCD，由三角形内角和定理可求出CMN的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论；（2）根据ABCD，ECD=可得出AEC=ECD=且AEN+CNE=180，由MNCD得出MNC=90，根据三角形内角和定理即可得出结论【解答】解：（1）ABCD，ECD=40，FEB=ECD=40；MNCD，CNM=90，CMN=90ECN=9040=50CMN是EMN的外角，CMN=MEN+MNE=50故答案为：40，50； （2）猜想：MEN+MNE=90证明如下：ABCD，ECD=AEC=ECD=且AEN+CNE=180又MNCDMNC=90，90+MEN+MNE+=180，MNE+MEN=90【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等6（2015春建昌县期末）已知：如图，直线ab，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点（1）如图1，当点P在线段AB上（不与A、B两点重合）运动时，1、2、3之间有怎样的大小关系？请说明理由；（2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，1、2、3之间的大小关系为1=2+3；（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，1、2、3之间的大小关系为2=1+3【考点】平行线的性质菁优网版权所有【分析】（1）过点P作a的平行线，根据平行线的性质进行解题；（2）过点P作b的平行线PE，由平行线的性质可得出abPE，由此即可得出结论；（3）设直线AC与DP交于点F，由三角形外角的性质可得出1+3=PFA，再由平行线的性质即可得出结论【解答】解：（1）如图1，过点P作PEa，则1=CPEab，PEa，PEb，2=DPE，3=1+2；（2）如图2，过点P作PEb，则2=EPD，直线ab，aPE，1=3+EPD，即1=2+3故答案为：1=2+3；（3）如图3，设直线AC与DP交于点F，PFA是PCF的外角，PFA=1+3，ab，2=PFA，即2=1+3故答案为：2=1+3【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出平行线，利用平行线的性质解答是解答此题的关键7（2015春迁安市期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图1，若ABCD，点P在AB、CD外部，则有B=BOD，又因BOD是POD的外角，故BOD=BPD+D得BPD=BD将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则BPD、B、D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在如图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则BPD、B、D、BQD之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求如图4中A+B+C+D+E的度数【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质菁优网版权所有【分析】（1）延长BP交CD于点E，根据ABCD得出B=BED，再由三角形外角的性质即可得出结论；（2）连接QP并延长，由三角形外角的性质得出BPE=B+BQE，DPE=D+DQP，由此可得出结论；（3）由（2）的结论得：AFG=B+EAGF=C+D再根据A+AFG+AGF=180即可得出结论【解答】解：（1）不成立，结论是BPD=B+D延长BP交CD于点E，ABCD，B=BED，又BPD=BED+D，BPD=B+D；（2）结论：BPD=BQD+B+D连接QP并延长，BPE是BPQ的外角，DPE是PDQ的外角，BPE=B+BQE，DPE=D+DQP，BPE+DPE=B+D+BQE+DQP，即BPD=BQD+B+D；（3）由（2）的结论得：AFG=B+EAGF=C+D又A+AFG+AGF=180A+B+C+D+E=180（或由（2）的结论得：AGB=A+B+E且AGB=CGD，A+B+C+D+E=180【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形外角的性质求解是解答此题的关键8（2015营口）【问题探究】（1）如图1，锐角ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰ABE和等腰ACD，使AE=AB，AD=AC，BAE=CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，ABC=ACD=ADC=45，求BD的长（3）如图3，在（2）的条件下，当ACD在线段AC的左侧时，求BD的长【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）首先根据等式的性质证明EAC=BAD，则根据SAS即可证明EACBAD，根据全等三角形的性质即可证明；（2）在ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角BAE，使BAE=90，AE=AB，连接EA、EB、EC，证明EACBAD，证明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；（3）在线段AC的右侧过点A作AEAB于点A，交BC的延长线于点E，证明EACBAD，证明BD=CE，即可求解【解答】解：（1）BD=CE理由是：BAE=CAD，BAE+BAC=CAD+BAC，即EAC=BAD，在EAC和BAD中，EACBAD，BD=CE；（2）如图2，在ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角BAE，使BAE=90，AE=AB，连接EA、EB、ECACD=ADC=45，AC=AD，CAD=90，BAE+BAC=CAD+BAC，即EAC=BAD，在EAC和BAD中，EACBAD，BD=CEAE=AB=7，BE=7，AEC=AEB=45，又ABC=45，ABC+ABE=45+45=90，EC=，BD=CE=（3）如图3，在线段AC的右侧过点A作AEAB于点A，交BC的延长线于点E，连接BEAEAB，BAE=90，又ABC=45，E=ABC=45，AE=AB=7，BE=7，又ACD=ADC=45，BAE=DAC=90，BAEBAC=DACBAC，即EAC=BAD，在EAC和BAD中，EACBAD，BD=CE，BC=3，BD=CE=73（cm）【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确理解三个题目之间的联系，构造（1）中的全等三角形是解决本题的关键9（2015菏泽）如图，已知ABC=90，D是直线AB上的点，AD=BC（1）如图1，过点A作AFAB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）利用SAS证明AFD和BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状；（2）作AFAB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明AFD和BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，FDC=90，即可得出FCD=APD=45【解答】解：（1）CDF是等腰直角三角形，理由如下：AFAD，ABC=90，FAD=DBC，在FAD与DBC中，FADDBC（SAS），FD=DC，CDF是等腰三角形，FADDBC，FDA=DCB，BDC+DCB=90，BDC+FDA=90，CDF是等腰直角三角形；（2）作AFAB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图，AFAD，ABC=90，FAD=DBC，在FAD与DBC中，FADDBC（SAS），FD=DC，CDF是等腰三角形，FADDBC，FDA=DCB，BDC+DCB=90，BDC+FDA=90，CDF是等腰直角三角形，FCD=45，AFCE，且AF=CE，四边形AFCE是平行四边形，AECF，APD=FCD=45【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用解答时证明三角形全等是关键10（2015贵港）已知：ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中PCQ=90，探究并解决下列问题：（1）如图，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：线段PB=，PC=2；猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为PA2+PB2=PQ2；（2）如图，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图给出证明过程；（3）若动点P满足=，求的值（提示：请利用备用图进行探求） 【考点】勾股定理的应用；相似形综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的长；过点C作CDAB，垂足为D，从而可求得CD、PD的长，然后在Rt三角形CDP中依据勾股定理可求得PC的长；ACB为等腰直角三角形，CDAB，从而可求得：CD=AD=DB，然后根据AP=DCPD，PB=DC+PD，可证明AP2+BP2=2PC2，因为在RtPCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；（2）过点C作CDAB，垂足为D，则AP=（AD+PD）=（DC+PD），PB=（DPBD）=（PDDC），可证明AP2+BP2=2PC2，因为在RtPCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；（3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PD的长（用含有CD的式子表示），然后在RtACP和RtDCP中由勾股定理求得AC和PC的长度即可【解答】解：（1）如图：ABC是等腰直直角三角形，AC=1+AB=+，PA=，PB=，作CDAB于D，则AD=CD=，PD=ADPA=，在RtPCD中，PC=2，故答案为：，2；如图1ACB为等腰直角三角形，CDAB，CD=AD=DBAP2=（ADPD）2=（DCPD）2=DC22DCPD+PD2，PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DCPD+PD2AP2+BP2=2CD2+2PD2，在RtPCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，AP2+BP2=2PC2CPQ为等腰直角三角形，2PC2=PQ2AP2+BP2=PQ2（2）如图：过点C作CDAB，垂足为DACB为等腰直角三角形，CDAB，CD=AD=DBAP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DCPD+PD2，PB2=（DPBD）2=（PDDC）2=DC22DCPD+PD2，AP2+BP2=2CD2+2PD2，在RtPCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，AP2+BP2=2PC2CPQ为等腰直角三角形，2PC2=PQ2AP2+BP2=PQ2（3）如图：过点C作CDAB，垂足为D当点P位于点P1处时，在RtCP1D中，由勾股定理得：=DC，在RtACD中，由勾股定理得：AC=DC，=当点P位于点P2处时=，在RtCP2D中，由勾股定理得：=，在RtACD中，由勾股定理得：AC=DC，综上所述，的比值为或【点评】本题主要考查的是等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，根据等腰直角三角形的性质证得：CD=AD=DB，将PA、PA、PQ、AC、PC用含DC的式子表示出来是解题的关键11（2014南京）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，然后，对B进行分类，可分为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究【深入探究】第一种情况：当B是直角时，ABCDEF（1）如图，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E=90，根据HL，可以知道RtABCRtDEF第二种情况：当B是钝角时，ABCDEF（2）如图，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是钝角，求证：ABCDEF第三种情况：当B是锐角时，ABC和DEF不一定全等（3）在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是锐角，请你用尺规在图中作出DEF，使DEF和ABC不全等（不写作法，保留作图痕迹）（4）B还要满足什么条件，就可以使ABCDEF？请直接写出结论：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是锐角，若BA，则ABCDEF【考点】全等三角形的判定与性质；作图应用与设计作图菁优网版权所有【专题】压轴题；探究型【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；（2）过点C作CGAB交AB的延长线于G，过点F作FHDE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出CBG=FEH，再利用“角角边”证明CBG和FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明RtACG和RtDFH全等，根据全等三角形对应角相等可得A=D，然后利用“角角边”证明ABC和DEF全等；（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到DEF与ABC不全等；（4）根据三种情况结论，B不小于A即可【解答】（1）解：HL；（2）证明：如图，过点C作CGAB交AB的延长线于G，过点F作FHDE交DE的延长线于H，ABC=DEF，且ABC、DEF都是钝角，180ABC=180DEF，即CBG=FEH，在CBG和FEH中，CBGFEH（AAS），CG=FH，在RtACG和RtDFH中