高数：导数与微分的计算方法、洛比塔法则.ppt

第三讲：导数与微分的计算方法 1 导数与微分的四则运算 2 复合函数的导数和微分 3 隐函数的导数 4 对数求导法 5 参数方程所确定函数的导数 6 n阶导数 1 四则运算 （一）和、差、积、商的求导法则 定理 推论 （二）例题分析 例1 解 例2 解 例3 解 同理可得 例4 解 同理可得 例5 解 同理可得 例6 解 （三）小结 注意: 分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求. 2 反函数、复合函数的导数 定理 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 例1 解 同理可得 例2 解 特别地 二、复合函数的求导法则 定理 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则 ) 推广 例3 解 例4 解 例5 解 例6 解 例7 解 三、小结 反函数的求导法则（注意成立条件）; 复合函数的求导法则 （注意函数的复合过程,合理分解正确使用链 导法）; 已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常 数与基本初等函数的和、差、积、商. 四、初等函数的求导问题 1.常数和基本初等函数的导数公式 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(),(xvvxuu= 可导，则 （1） vuvu = )(, （2）uccu = )( （3）vuvuuv += )(, （4）)0()( 2 - =v v vuvu v u . ( 是常数) 隐函数的导数 对数求导法 参数方程所确定函数的导数 一、隐函数的导数 定义: 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 例1 解 解得 例2 解 所求切线方程为 显然通过原点. 例3 解 二、对数求导法 观察函数 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. -对数求导法 适用范围: 例4 解等式两边取对数得 例5 解等式两边取对数得 一般地 三、由参数方程所确定的函数的导数 例如 消去参数 问题: 消参困难或无法消参如何求导? 由复合函数及反函数的求导法则得 例6 解 所求切线方程为 例8 解 五、小结 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导 法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 思考题 思考题解答 不对 6 高阶导数 定义 记作 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 二阶导数的导数称为三阶导数, 二、 高阶导数求法举例 例1 解 由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例2 解 例3 解 注意: 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并 ,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证 明) 例4 解 同理可得 例7 解 例8 解 思考题 设 连续，且 ， 求 . 思考题解答 可导 不一定存在故用定义求 定义 例如, 定理 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 证定义辅助函数 则有 例1 解 例2 解 例3 解 例4 解 例5 解 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 解 例7 解 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 . 步骤: 例8